2 循環論法
まず、(1) にまつわる循環論法について説明しておく。
元々「円周率 (
)」は、円の面積から定義するものではなく、
円の円周と直径の比として定義される:
![\begin{displaymath}
\pi = \frac{円周}{直径}\end{displaymath}](img6.gif) |
(2) |
よって、
![\begin{displaymath}
円の面積\ = \pi r^2\end{displaymath}](img7.gif) |
(3) |
であるという事実は円周率の定義ではなく、
(2) から導かなければいけない「定理」である。
現代数学では、円のように、
![\begin{displaymath}
「曲線で囲まれた図形の面積は積分によって定義すべきもの」\end{displaymath}](img8.gif) |
(4) |
と考えられているので、その立場からすれば、
半径
の円の面積
は定積分
![\begin{displaymath}
S = 2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx\end{displaymath}](img11.gif) |
(5) |
によって定義されることになる。
この積分の計算には、
の
ような置換積分が用いられ、
![\begin{displaymath}
\frac{dx}{d\theta} = r\cos\theta\end{displaymath}](img14.gif) |
(6) |
より、
となる。
さて、(1) の証明であるが、
まず、
に対しては、
とすれば
となり、
![\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow -0}\frac{\sin x}{x}
=
\lim_{t\rightarr...
...}\frac{\sin(-t)}{-t}
=
\lim_{t\rightarrow +0}\frac{\sin t}{t}\end{displaymath}](img22.gif) |
(8) |
となるので、
の方だけを考えればよい。
そして、その極限が 1 にあることを示すには「はさみうちの原理」を
使うのであるが、扇形の面積を使う方法は以下の通り (図 1)。
中心角
(ラジアン)、半径 1 の扇形で、
![\begin{displaymath}
\mbox{$\triangle$OAC} <\ 扇形\ \mathrm{OBC} < \mbox{$\triangle$OBD}\end{displaymath}](img26.gif) |
(9) |
という面積に関する不等式を考えれば、
![\begin{displaymath}
\frac{1}{2}\,\sin x\cos x < \frac{1}{2}\,x < \frac{1}{2}\,\tan x\end{displaymath}](img27.gif) |
(10) |
なので、
で割れば、
となり、
とすれば、はさみうちの原理によって
![\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow +0}\frac{\sin x}{x}=1\end{displaymath}](img30.gif) |
(11) |
が得られる、という論法である。
OAC の代わりに
OBC (=
) を使うこともあるが、
違いはほとんどない。
そして、(1) を元にして、
![\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}
=
\lim_{x\right...
...ft(\frac{\sin x}{x}\right)^2\frac{1}{1+\cos x}}
=
\frac{1}{2}\end{displaymath}](img31.gif) |
(12) |
が得られ、(1) と (12) により、
![\begin{displaymath}
(\sin x)'
=
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{...
...\frac{\cos h-1}{h}
+\frac{\sin h}{h}\,\cos x\right)}
= \cos x\end{displaymath}](img32.gif) |
(13) |
と
の導関数が得られる。
さて、ここまでの話でどこが循環論法かと言えば、
それは (9) で使用した扇形の面積である。
扇形 OBC の面積が
になる、ということには、
円の面積の公式 (3) を使っていることになるが、
円の面積は (5) によって定義され、
それは (7) で見たように
の導関数を必要とし、
の導関数を導くには (1) が必要である、
という構造、すなわち (1) を導くのに (1) が必要になってしまっているのが循環論法である、
という話である。
竹野茂治@新潟工科大学
2015年12月7日