3.2 複素数を利用する方法

Next: 4 一方から他方を導く方法 Up: 3 別に加法定理を導く方法 Previous: 3.1 おおまかな式から作る方法 (PDF ��: sinadd.pdf)

現在高校の数学 B で履修する複素数では、複素平面や極形式、ド $\cdot$ モアブルの公式などもやるようなので、

$\begin{displaymath} \cos\theta + i\sin\theta \end{displaymath}$

という形の式は多分馴染みが深いと思われる。この形の式は、ド $\cdot$ モアブルの公式からも見られるように、積が角の和に変わる、という性質を持っている。

$\begin{displaymath} (\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos(x+y)+i\sin(x+y) \end{displaymath}$

(6)

よってこの式を覚えておけば、この式を展開して

を使うと

$\begin{displaymath} \mbox{左辺} = \cos x\cos y-\sin x\sin y + i(\cos x\sin y + \sin x\cos y) \end{displaymath}$

となるので、両辺の実数部分と虚数部分を比較すれば加法定理が得られる。

なお、この式 (6) は、大学 (の理系の学部の 1,2 年生) でオイラーの公式

$\begin{displaymath} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{displaymath}$

として学ぶもので、値の積が変数の和になることは指数法則として見ることができる。

この公式には他にも多くの応用があり、例えば三角関数の微分の公式 $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ を覚えるのに

$\begin{displaymath} (\cos x+i\sin x)'=i(\cos x+i\sin x) \hspace{1zw}(=-\sin x+i\cos x) \end{displaymath}$

つまり、微分が

倍になる ( $(e^{ix})'=ie^{ix}$ )、という性質として覚えることができる。

Next: 4 一方から他方を導く方法 Up: 3 別に加法定理を導く方法 Previous: 3.1 おおまかな式から作る方法

Shigeharu TAKENO
2003年 3月 4日