2 指数関数
まずは、指数関数の導関数の公式
から考える。
(
,
) とすると、
のグラフの
での傾きは
である。
今
とすると、
のグラフは
のグラフを
方向に
倍したものだから
の
での傾き
は
 |
(4) |
となる。一方、指数関数の性質により、
 |
(5) |
であるから、
は
を
方向に
だけ平行移動したものとなり、
の
でのグラフの傾き
は、
の
でのグラフの傾き
に等しいことになる (図 1)。
図 1:
のグラフと傾き
|
よって、(4) と
により
がわかり、
は任意なので、
 |
(6) |
が得られる。あとは
の値を決定すればよい。
この
の値は
によって変わるが、
 |
(7) |
という形で
を定義すれば、
(6) から (2) が得られることになる。
この (7) は、高校の教科書での通常の
の定義
 |
(8) |
とは異なるが、(7) は極限で書けば
 |
(9) |
となり、これは
のみが持つ性質であるから、
(7) による定義でも (8) と
同じものが得られることが保証される。
ちなみに、(7) のような
の定義の仕方は、
現在私が使用している教科書 [1] でも採用している方法である。
一般の
の場合は、
とすると、
より
も指数関数であり、そのグラフは
のグラフを
方向に
倍したものなので、
での傾きは
になり、
よって (7) により
であることがわかる。
よって、
より
となるので、
これを (6) に代入すれば (3) が
得られる。
竹野茂治@新潟工科大学
2017年4月11日