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2 考察

数列の極限

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\{(n+1)^p-n^p\}$$

は、もし実数の極限

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\{(x+1)^p-x^p\}\hspace{1zw}(\mbox{$x$\ は実数})$$

が存在すれば、もちろんそれと同じ極限を持つはずなので、 こちらを考えることにします。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(x+1)^p-x^p} \\ &=& x^p\left\{\frac{(x+1)^p}{x^p}-1\... ...^p-1\right\} = x^p\left\{\left(1+\frac{1}{x}\right)^p-1\right\}\end{eqnarray*}$$

となるので、$1/x=t$ とおくと、この式は

$$(x+1)^p-x^p = \left(\frac{1}{t}\right)^p\{(1+t)^p-1\}$$

となります。 $x\rightarrow\infty$ と $t\rightarrow +0$ は同じことですから、 よって、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\{(x+1)^p-x^p\} = \lim_{t\rightarro... ...-1}{t^p} = \lim_{t\rightarrow +0}\frac{(1+t)^p-1}{t}\ t^{1-p}$$

となりますが、$f(t)=t^p$ とすれば

$$\lim_{t\rightarrow +0}\frac{(1+t)^p-1}{t} =\lim_{t\rightarrow +0}\frac{f(1+t)-f(1)}{t} = f'(1) = p$$

( $f'(t)=pt^{p-1}$) となることがわかります。

一方、

$$\lim_{t\rightarrow +0}t^{1-p} = \left\{\begin{array}{ll} \infty & (p>1)\\ 1 & (p=1)\\ 0 & (0<p<1)\end{array}\right.$$

なので、結局、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\{(x+1)^p-x^p\} = \left\{\begin{arr... ... \infty & (p>1)\\ 1 & (p=1)\\ 0 & (0<p<1)\end{array}\right.$$

であることが言えることになります。

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