2 特殊化

(1), (2) の公式は、 いずれも $a$, $b$ に関して「斉次」すなわちすべての項が $a$, $b$ に関して同じ次数なので、片方を 1 にした形に帰着できる。 まず本節ではその変形を行う。

(1) の両辺を $b^n$ で割り、$a/b=x$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}左辺 &=& \frac{(a+b)^n}{b^n} \ =\ \left(\frac{a+b}{b}\right)... ... &=& {}_{n}C_{0}x^n + {}_{n}C_{1}x^{n-1} + \cdots + {}_{n}C_{n}\end{eqnarray*}$$

となるので、(1) は

  $$(x+1)^n = \sum_{k=0}^n{}_{n}C_{k}x^{n-k} = {}_{n}C_{0}x^n + {}_{n}C_{1}x^{n-1} + + \cdots + {}_{n}C_{n}$$ (3)

となり、これは (1) で $a=x$, $b=1$ とした式に等しい。

逆に、(3) で $x=a/b$ として、 両辺を $b^n$ 倍すれば (1) が再現されることになるので、 (1) と (3) とは実質的に同値になる。

これは、(2) でも事情は同じで、 $b^2$, $b^3$, $b^3$ でそれぞれの両辺を割って $a/b=x$ とすれば、 $a=x$, $b=1$ としたのと同じ式

  $$\left\{\begin{array}{ll} x^2-1 &= (x-1)(x+1)\\ x^3-1 &= (x-1)(x^2+x+1)\\ x^3+1 &= (x+1)(x^2-x+1) \end{array}\right.$$ (4)

が得られるが、ここで $x=a/b$ として両辺を それぞれ $b^2$, $b^3$, $b^3$ 倍すれば元の (2) が 再現できるので (2) と (4) は 同値となる。

よって以後は、(1), (2) の代わりに (3), (4) の方で考える。