7 t の k 乗の指数関数倍の計算

次に、3 節の指数関数倍の公式を用いる方法で考えてみる。 ここでは、その節の後半で述べたように、 三角関数を複素指数で表わすのではなく、 複素指数の実数部分と虚数部分で考えてみる。

$$\mathcal {L}$$[t^ke^it] = $$\mathcal {L}$$[t^kcos t] + i$$\mathcal {L}$$[t^ksin t] = G_k + iF_k

であり、

$$\mathcal {L}$$[t^ke^it](s) = $$\mathcal {L}$$[t^k](s - i) = $${\frac{{k!}}{{(s-i)^{k+1}}}}$$

なので、z の実数部分を $\Re$z 、z の虚数部分を $\Im$z と書くことにすれば、

$$\Im {\frac{{k!}}{{(s-i)^{k+1}}}} \Im {\frac{{k!(s+i)^{k+1}}}{{\{(s-i)(s+i)\}^{k+1}}}} {\frac{{k!\Im(s+i)^{k+1}}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$$ F_k =

$$\Re {\frac{{k!}}{{(s-i)^{k+1}}}} {\frac{{k!\Re(s+i)^{k+1}}}{{(s^2+1)^{k+1}}}}$$ G_k =

となる。 これなら、二項展開のみで計算が済み、 しかも微分の場合のように k = 1, 2,... のように順番に計算しなくても 直接求める k の場合の結果を計算することができる。 例えば F₅ であれば、

(s + i)⁶ = s⁶ +6s⁵i - 15s⁴ -20s³i + 15s² + 6si - 1

より $\Im$(s + i)⁶ = 6s⁵ -20s³ + 6s となるので、

F₅ = $${\frac{{5!}}{{(s^2+1)^6}}}$$(6s⁵ -20s³ +6s) = $${\frac{{240s(3s^4-10s^2+3)}}{{(s^2+1)^6}}}$$

のようになる。