B Helly の選出定理

この節では、Helly の選出定理 6.1 の証明を行う。

まず、系 A.2, A.5 より、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{(-\infty,x]}f_n = P_{(-\infty,x]}f_n + N_{(-\infty,x]}f_n, %\label{eq:Helly:TV_P_N}$$ (B.142)

$$f_n(x) = P_{(-\infty,x]}f_n - N_{(-\infty,x]}f_n+f_n(-\infty)$$ (B.143)

となる。 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R f_n\leq A_1$ の仮定より、

$$0\leq P_{(-\infty,x]}f_n\leq A_1, \hspace{1zw} 0\leq N_{(-\infty,x]}f_n\leq A_1$$ (B.144)

なので、 まず一様有界な単調増加関数列 $\{g_n(x)\}_n$ に対して収束性を示し、 それを $P_{(-\infty,x]}f_n$, $N_{(-\infty,x]}f_n$ に適用することで $f_n(x)$ に対して示す、という方針で証明する。

まず、$g_n(x)$ は

$$B_1\leq g_n(x)\leq B_2\hspace{1zw}(x\in R)$$

を満たし、かつ単調増加であるとする。 今、有理数全体を $\{x_k\}_k$ とすると $\{g_n(x_k)\}_n$ は有界列だから その部分列を取ってある実数に収束させることができる。 よって、対角線論法を使うことで、 すべての $x_k$ に対し収束するような $\{g_n(x)\}_n$ の部分列 $\{g_{n_j}(x)\}_j$ を取ることができる:

$$\lim_{j\rightarrow\infty}g_{n_j}(x_k)=\alpha_k$$

今、$h(x)$ を

$$h(x)=\left\{\begin{array}{ll} \alpha_k & (x=x_k),\\ \sup_{x_k<x}\alpha_k & (x\not\in\{x_k\}_k)\end{array}\right.$$

と定めると、$g_n$ の単調性より $x_i<x_k$ ならば $\alpha_i\leq \alpha_k$ なので、$h(x)$ は単調増加であり、 かつ

$$B_1\leq h(x)\leq B_2\hspace{1zw}(x\in R)$$

を満たす。 よって、命題 A.4 より $h(x)$ の不連続点の集合 $P$ は 高々可算な集合である。

今、 $x\in R\setminus P$ とすると、 $x\in\{x_k\}_k$ ならば $g_{n_j}(x)\rightarrow h(x)$ であるが、 $x\not\in\{x_k\}_k$ の場合も $g_{n_j}(x)\rightarrow h(x)$ となることを示そう。 $x_i<x<x_k$ に対し、

$$g_{n_j}(x_i)\leq g_{n_j}(x)\leq g_{n_j}(x_k)$$

であるから、 $j\rightarrow\infty$ とすれば

$$h(x_i)\leq\liminf_j g_{n_j}(x)\leq \limsup_j g_{n_j}(x)\leq h(x_k)$$

となるが、 $\{x_k\}$ は稠密なので $x_i$, $x_k$ を $x$ に収束するように取ると、 $h$ は $x$ で連続だから $h(x_i)$, $h(x_k)$ は $h(x)$ に収束し、

$$h(x)=\liminf_j g_{n_j}(x)=\limsup_j g_{n_j}(x)$$

となり、よって確かに $g_{n_j}(x)\rightarrow h(x)$ となる。

つまり、 $x\in R\setminus P$ ならば $g_{n_j}(x)\rightarrow h(x)$ となるが、 $P$ は高々可算集合で $g_{n_j}$ は一様有界なので、 $\{g_{n_j}\}_j$ の部分列 $\{g_{n'_k}\}_k$ を取ることで $P$ 上でも $g_{n'_k}$ を収束させることができる。 よってその極限を $g(x)=\lim_{k\rightarrow\infty}g_{n'_k}(x)$ とすれば、 すべての $x$ に対して $g_{n'_k}(x)$ は $g(x)$ に収束することになる。 これで $g_n$ に対する収束性が示された。

この議論と (B.3) により、 自然数列のある部分列 $\{n_j\}_j$ を取って、 関数列 $\{P_{(-\infty,x]}f_{n_j}\}_j$, $\{N_{(-\infty,x]}f_{n_j}\}_j$ と数列 $\{f_{n_j}(-\infty)\}_j$ を すべての $x$ に対し各点収束させることができる。 その極限を、

$$\lim_{j\rightarrow\infty}P_{(-\infty,x]}f_{n_j}=g_1(x), \hsp... ..., \hspace{1zw} \lim_{j\rightarrow\infty}f_{n_j}(-\infty)=\beta$$

とすると、(B.2) より、

$$\lim_{j\rightarrow\infty}f_{n_j}(x)=g_1(x)-g_2(x)+\beta$$

となる。よってこの右辺を $f(x)=g_1(x)-g_2(x)+\beta$ とすると $\lim_{j\rightarrow\infty}f_{n_j}(x)=f(x)$ であり、 定理 6.1 の仮定より

$$-A_2\leq f_{n_j}(x)\leq A_2$$

なので、

$$-A_2\leq f(x)\leq A_2$$

が従う。最後に $f(x)$ の全変動であるが、 これは (B.3) より

$$0\leq g_1(x)\leq A_1,\hspace{1zw} 0\leq g_2(x)\leq A_1$$

であり、かつ $g_1(x)$, $g_2(x)$ は単調なので、

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R f &=& \mathop{\mathrm{TV}}\n... ...ts _R g_1+ \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R g_2 &\leq & 2A_1\end{eqnarray*}$$

となる。これで定理 6.1 が示されたことになる。