4.2 相互作用がない場合

まず、相互作用がない場合、すなわち $D(\gamma,\delta)=0$ である場合を考えるが、 その前に $\varepsilon$ を $\gamma$, $\delta$ の式として表しておく。

今、

$$\varepsilon =\alpha(U_L,U_R),\hspace{1zw} \gamma=\alpha(U_L,U_M),\hspace{1zw} \delta=\alpha(U_M,U_R)$$

なので、

$$U_M=T(\gamma;U_L),\hspace{1zw}U_R=T(\delta;U_M)$$

となり、よって

$$\varepsilon =\alpha(U_L,T(\delta;T(\gamma;U_L)))=\beta(\gamma,\delta;U_L)$$

と書ける。 しかも、 $U_L,U_M,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U})$ であるから、 その途中の解はすべて $B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})$ に入っている。

補題 4.2

$\gamma_j$, $\delta_j$ がどちらも衝撃波でない場合は

$$\hat{U}_j(\delta_j;\hat{U}_j(\gamma_j;U_0)) =\hat{U}_j(\delta_j+\gamma_j;U_0)$$ (4.33)

となる。

証明

$V(\xi)=\hat{U}_j(\xi;U_0)$ とすると、これが衝撃波ではない、 つまり膨張波か接触不連続の場合は

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d V(\xi)}{d \xi}=r_j(V(\xi)), [.5zh] V(0)=U_0 \end{array}\right.$$ (4.34)

を満たす。今、

$$\hat{V}(\xi)=\hat{U}_j(\xi+\gamma_j;U_0) \hspace{1zw}(\mbox{$\xi$ は $0$ と $\delta_j$ の間})$$ (4.35)

とすると、

$$\begin{eqnarray*}\hat{V}'(\xi) &=& \hat{U}_j'(\xi+\gamma_j;U_0) = r_j(\hat... ...j(\hat{V}(\xi)), \\ \hat{V}(0) &=& \hat{U}_j(\gamma_j;U_0) \end{eqnarray*}$$

を満たすので、微分方程式 (4.5) の解の一意性により、

$$\hat{V}(\xi)=\hat{U}_j(\xi;\hat{U}_j(\gamma_j;U_0))$$ (4.36)

となる。 よって、(4.6), (4.7) より (4.4) が得られる。

補題 4.3

$\gamma$, $\delta$ に近づく波が含まれない場合、 すなわち 0 でない $\gamma_i$ と $\delta_j$ は、 すべて $i<j$ か、または $i=j$ でかついずれも衝撃波ではない場合は

$$\varepsilon = \gamma+\delta$$

となる。

証明

この場合、$\gamma$, $\delta$ は

$$\left\{\begin{array}{l} \gamma= {}^T\!(\gamma_1,\ldots,\g... ...s,0,\delta_k,\delta_{k+1},\ldots,\delta_N) \end{array}\right.$$

の形であり、$U_L$ から $U_M$, $U_M$ から $U_R$ の途中の状態を

$$\left\{\begin{array}{l} U_1=\hat{U}_1(\gamma_1;U_L), \ld... ...dots, U_N=\hat{U}_N(\delta_N;U_{N-1})=U_R \end{array}\right.$$

とすると、 例えば $\delta_k=0$ の場合は、 $\tilde{U}_k=U_M$ であり 左から $(k+1)$ 番目の状態を $U_k=U_M$ として $U_L$ から $U_R$ までそのまま

$$\varepsilon = {}^T\!(\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1},\gamma_k, \delta_{k+1},\ldots,\delta_N)$$

という波でつながる。$\gamma_k=0$ の場合も $U_k=U_M$ で、左から $(k+1)$ 番目の状態が $\tilde{U}_k$ で

$$\varepsilon = {}^T\!(\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1}, \delta_k,\delta_{k+1},\ldots,\delta_N)$$

という波で $U_L$ から $U_R$ までつながる。

$\gamma_k$ と $\delta_k$ が 0 でない場合も、 仮定によりその両方が衝撃波ではないので、 補題 4.2 により、

$$\tilde{U}_k =\hat{U}_k(\delta_k;U_M) =\hat{U}_k(\delta_k;... ...}_k(\gamma_k;U_{k-1})) =\hat{U}_k(\gamma_k+\delta_k;U_{k-1})$$

となり、よって $U_{k-1}$ と $\tilde{U}_k$ を $k$ 番目の波で $\gamma _k+\delta _k$ としてつなげることができ、

$$\varepsilon = {}^T\!(\gamma_1,\ldots,\gamma_{k-1}, \gamma_k+\delta_k,\delta_{k+1},\ldots,\delta_N)$$

となる。

図 4.3: $\gamma _k+\delta _k$

よって、いずれの場合も $\varepsilon =\gamma+\delta$ が成り立つ。

この補題 4.3 は、 近づかない波には相互作用が起こらず、そのまま平行移動して並べれば それでつながるということを意味している。