3.10 帰納法による有界変動評価

最後に、

の帰納法による有界変動評価 (7.60) (p138) を示す。 [1] にはごくあっさりと書いてあるが、ここではもう少し詳しく説明する。

まず、各衝突時刻 $t=\tau$ で以下が成り立つことは既に示された。

$\displaystyle V(\tau+)$	$\textstyle \leq$	$\displaystyle V(\tau-)+M_1\vert\sigma'\sigma''\vert$	(6)
$\displaystyle Q(\tau+)$	$\textstyle \leq$	$\displaystyle Q(\tau-)-\vert\sigma'\sigma''\vert+M_1\vert\sigma'\sigma''\vert V(\tau-)$	(7)

ここで、

は正の定数で、考えている $u$

が含まれる領域に依存する。すなわち、時刻が進むに応じて $u$

が含まれる領域が広がってしまえば、これらの定数も大きく取らないといけなくなり、共通の定数とは取れなくなってしまう可能性があるので、本来は $u$

の a priori 評価が得られてようやく決定する定数であることに注意しなければいけない。

ここではそれを帰納法で行うわけであるが、既知の $M_1$ が取れるのは本来は初期値 (を階段関数で近似した $u(0+,x)$ ) に対してのみである。

また、ある定数 $C_1\geq 1$ に対して次が成り立つ (p138 (7.59))。

$\displaystyle \frac{1}{C_1}\mathop{\rm TV}u(t,\cdot)\leq V(t)\leq C_1\mathop{\rm TV}u(t,\cdot)$ (8)

これは、各波の大きさ $\vert\sigma\vert$ と、その両側の段差 $\vert[u]\vert$ に同様の不等式が成り立つことからくるもので、よってこの $C_1$

も

同様

が含まれる領域に依存する定数である。

まず最初の目標は、

$\displaystyle \Upsilon(t)=V(t)+C_0Q(t)$ (9)

が

に関して非増加となるような定数 $C_0$

を見つけることである。

今、全 front の衝突時刻を小さい方から

$\displaystyle 0<\tau_1<\tau_2<\tau_3<\cdots$

とする。p137 の (7.57) が成り立つように、

$\displaystyle M_1V(\tau-)\leq \frac{1}{2}$ (10)

としたいので、 $0<\delta_2<\delta_1$ ( $\delta_1$ は 7.3 節の 1. (p133)) を、まず

$\displaystyle \delta_2\leq \frac{1}{2M_1}$ (11)

となるように取る。そして $C_0$

を

$\displaystyle 2M_1\leq C_0$ (12)

となるように取り、

$\displaystyle C_1(C_1\delta_3+C_0(C_1\delta_3)^2)\leq \delta_2$ (13)

を満たすような $\delta_3>0$ を取る。なお、 $C_1\geq 1$ より、

$\displaystyle \delta_2\geq C_1^2\delta_3\geq C_1\delta_3$ (14)

であることに注意する。 (13) を満たす $\delta_3$ としては、例えば

$\displaystyle \delta_3 = \min\left\{1,\frac{\delta_2}{C_1^2(1+C_0C_1)}\right\}$ (15)

とでもすればよい。それは、(15) であれば、 $\delta_3\leq 1$ より

$\begin{eqnarray*}\delta_2 &\geq& C_1^2(1+C_0C_1)\delta_3 = C_1^2\delta_3+C_... ...3+C_0C_1^3\delta_3^2 \ &=& C_1(C_1\delta_3+C_0(C_1\delta_3)^2)\end{eqnarray*}$

となるからである。

まず、 $u$ の初期全変動を小さくして、

$\displaystyle \mathop{\rm TV}u(0+,\cdot) \leq \delta_3$ (16)

であるとする。なお、[1] では $u(0+,x)$

のことを

と書いている (p127 (7.17))。初期値の変動が $\delta_3$ 未満であると仮定すれば、 (7.17) より (16) が成り立つようにできる。

このとき、(8) と (14) より、

$\displaystyle V(0+)\leq C_1\mathop{\rm TV}u(0+,\cdot)\leq C_1\delta_3\leq \delta_2$ (17)

となるので、(6), (7) より、

$\displaystyle {\Upsilon(\tau_1+) =\ V(\tau_1+)+C_0Q(\tau_1+)}$
	$\textstyle \leq$	$\displaystyle V(\tau_1-)+M_1\vert\sigma'_1\sigma''_1\vert +C_0(Q(\tau_1-)-\vert\sigma'_1\sigma''_1\vert+M_1\vert\sigma'_1\sigma''_1\vert V(\tau_1-))$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Upsilon(\tau_1-)+\vert\sigma'_1\sigma''_1\vert(M_1-C_0+C_0M_1V(\tau_1-))$	(18)

となるが、(11), (17) より、

$\displaystyle V(\tau_1-)=V(0+)\leq\delta_2\leq\frac{1}{2M_1}, \hspace{1zw}\Upsilon(\tau_1-)=\Upsilon(0+)$

なので、(12) より (18) は、

$\displaystyle \Upsilon(\tau_1+) \leq \Upsilon(0+)+\vert\sigma'_1\sigma''_1\vert\left(M_1-\frac{C_0}{2}\right) \leq \Upsilon(0+)$ (19)

と評価できる。また、

$\displaystyle Q(t)\leq V(t)^2$

に注意すると、 (13) と (17) により、

$\displaystyle \Upsilon(0+)$	$\textstyle =$	$\displaystyle V(0+)+C_0Q(0+) \leq\ V(0+)+C_0V(0+)^2$
	$\textstyle \leq$	$\displaystyle C_1\delta_3+C_0(C_1\delta_3)^2 \leq\ \frac{\delta_2}{C_1}$	(20)

となり、よって (19) より、

$\displaystyle V(\tau_1+) \leq\Upsilon(\tau_1+) \leq\Upsilon(0+) \leq \frac{\delta_2}{C_1} \leq \delta_2$ (21)

となるし、また、(8) と (21) から

$\displaystyle \mathop{\rm TV}u(\tau_1+,\cdot)\leq C_1V(\tau_1+)\leq\delta_2$ (22)

も得られる。

そして、この (22) によって

$\displaystyle \vert u(\tau_1+,x)-u(\tau_1+,-\infty)\vert = \vert u(\tau_1+,x)-\bar{u}(-\infty)\vert \leq \delta_2$

も保証されるので、初期値 $\bar{u}$ が含まれ、 (6), (7), (8) が成り立つ $u$

の領域を例えば

とし、

$\displaystyle U_0\supset B_{\hat{\delta}}(\bar{u}(-\infty))$

である $\hat{\delta}>0$ を取り、 $\delta_2<\hat{\delta}$ となるように $\delta_2$ を取れば

$\displaystyle u(\tau_1+, x)\in B_{\hat{\delta}}(\bar{u}(-\infty))\subset U_0$

が保証され、 $u(\tau_1+, x)$ に対しても、同じ $M_1$

のままで (6), (7), (8) を使うことができるようになる。

さて、ここからは帰納法により、 $n\geq 1$ に対して 3 つの不等式

$\displaystyle \Upsilon(\tau_n+) \leq \Upsilon(\tau_{n-1}+), \hspace{1zw} V(\... ...{C_1}\leq\delta_2, \hspace{1zw} \mathop{\rm TV}u(\tau_n+,\cdot) \leq \delta_2$ (23)

が成り立つことを示すことにする。 (19), (21), (22) により、 $n=1$

については示された。

(23) が $n-1$ までは成り立つとすると、上に述べたように、 (23) の 3 本目によりそこまでの $u$ に対しては (6), (7), (8) が使えて、よって、帰納法の仮定により、

$\begin{eqnarray*}\Upsilon(\tau_n+) &\leq & \Upsilon(\tau_n-)+\vert\sigma'_n\si... ...\left(M_1-\frac{C_0}{2}\right) \ &\leq & \Upsilon(\tau_{n-1}+)\end{eqnarray*}$