5 B⁽⁰⁾_n の 有界性と極限

本節では、$B^{(0)}_n$ の一様有界性と、 その $n\rightarrow\infty$ に関する極限を考える。 なおここでは、$\eta_n$, $\sigma_n$ の 最終的な展開式 (36), (42) を 用いるのではなく、最後の部分積分を実行する前の式 (25), (26) を利用し、 $B^{(0)}_n$ の式変形と $H$ の性質により、 最後の部分積分で現れる強い特異性を回避する方向で考える。

まず (25), (26) の $H$ の部分を それぞれ

  $$F_2(x)=H_{1,1,[\tau]+1}(x), \hspace{1zw}F_3(x)=H_{2,1,[\tau]+1}(x)$$ (56)

と書くことにすると、$\eta_n$, $\sigma_n$ は

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta_n &= \displaystyle \frac{(w-z)^... ...thit{\Gamma}}(-\tau)} \int_0^{\infty}(-\Psi_n'(x))F_3(x)dx \end{array}\right.$$ (57)

となり、$B^{(0)}_n$ を

  $$B^{(0)}_n = \eta^{(0)}\sigma_n-\eta_n\sigma^{(0)} = \eta^{(0)... ... = \frac{\theta(w-z)^\tau}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)}\eta^{(0)}I^{(0)}_n$$ (58)

と書き表すと、$I^{(0)}_n$ は、

	$$I^{(0)}_n$$	$=$	$$\int_0^{\infty}\Psi_n'(x)\{(w-z)F_3(x)-(w-a)F_2(x)\}dx$$
		$=$	$$(w-z)\int_0^{\infty}\Psi_n'(x)\{F_3(x)-\beta F_2(x)\}dx$$	(59)

となる。なお、以後本稿を通して

  $$\begin{array}{l} \displaystyle \beta = \frac{w-a}{w-z}, \hspac... ...n=n(w-a)=\beta N_n, \\ [1zh] Z_n=n(z-a)=W_n-N_n = (\beta - 1)N_n \end{array}$$ (60)

とする。この $I^{(0)}_n$ の有界性と極限を考える。 (59) を

$$\begin{eqnarray*}I^{(0)}_n &=& (w-z)\int_0^{\infty}\Psi_n'(x)\{F_3(x)-xF_2(x)... ...y}\Psi_n'(x)(x-\beta)F_2(x)dx \ =\ I^{(0)}_{n,1}+I^{(0)}_{n,2}\end{eqnarray*}$$

のように分けて考える。 命題 1 より、

$$F_3(x)-x F_2(x) = H_{2,1,[\tau]+1}(x) - x H_{1,1,[\tau]+1}(x) = -H_{1,1,[\tau]}(x)$$

となる。ここで $F_4(x)=H_{1,1,[\tau]}(x)$ とすると、 命題 1 より $F_4(x)$ は連続で、

  $$F_4'(x) = -\tau H_{1,1,[\tau]+1}(x) = -\tau F_2(x), \hspace{1zw}F_4(\infty)=F_4(+0)=0$$ (61)

となるので $I^{(0)}_{n,1}$ は部分積分できて、(61) より

$$I^{(0)}_{n,1} = (w-z)\int_0^{\infty}\Psi_n'(x)\{-F_4(x)\}dx = -\tau(w-z)\int_0^{\infty}\Psi_n(x)F_2(x)dx$$

となる。ここで、

$$\begin{eqnarray*}(w-z)\Psi_n(x) &=& (w-z)\psi_n(w-(w-z)x) \ =\ N_n\psi_0(W_n-N_n x) \\ &=& N_n\psi_0(N_n(\beta-x))\end{eqnarray*}$$

なので、置換積分により、

  $$I^{(0)}_{n,1} = -\tau\int_0^{\infty}N_n\psi_0(N_n(\beta-x))F_2(x)dx = -\tau\int_{-\infty}^{W_n}\psi_0(t)F_2\left(\beta-\frac{t}{N_n}\right)dt$$ (62)

となる。

一方、$I^{(0)}_{n,2}$ に関しては、

$$(w-z)(x-\beta)\Psi_n'(x) =N_n(x-\beta)\frac{d}{dx}\psi_0(N_n(\beta-x)) =N_n^2(\beta-x)\psi_0'(N_n(\beta-x))$$

となるが、以後一般に $\phi(s)\in\mathcal{S}$ に対して

  $$\tilde{\phi}(s)=-s\phi'(s) = \phi(s)-(s\phi(s))'\in\mathcal{S}$$ (63)

と書くことにする。なお、

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\tilde{\phi}(s)ds =\int_{\m... ...th$R$}}(\phi(s)-(s\phi(s))')ds =\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\phi(s)ds$$

となることに注意する。これにより、

$$(w-z)(x-\beta)\Psi_n'(x) = -N_n\tilde{\psi}_0(N_n(\beta-x))$$

となるので、

  $$I^{(0)}_{n,2} = -\int_0^{\infty}N_n\tilde{\psi}_0(N_n(\beta-x)... ... = -\int_{-\infty}^{W_n}\tilde{\psi}_0(t)F_2\left(\beta-\frac{t}{N_n}\right)dt$$ (64)

となる。よって (62), (64) より、

  $$I^{(0)}_n = I^{(0)}_{n,1}+I^{(0)}_{n,2} = -\int_{-\infty}^{W_n}\{\tau\psi_0(t)+\tilde{\psi}_0(t)\} F_2\left(\beta-\frac{t}{N_n}\right)dt$$ (65)

となる。

(58) にあるように、$B^{(0)}_n$ には $I^{(0)}_n$ に $\eta^{(0)}$ 倍があるから $I^{(0)}_n$ の評価では $z<a<w$ と 考えてよい。 このとき、 $n\rightarrow\infty$ に対して $W_n=n(w-a)\rightarrow\infty$ となり、 $\tau\psi_0+\tilde{\psi}_0\in\mathcal{S}$ で、 また $z<a<w$ では $0<\beta<1$ なので、 (65) は $n\rightarrow\infty$ に対して

  $$I^{(0)}_n \rightarrow -F_2(\beta)\int_{\mbox{\scriptsize\boldm... ...0(t)\}dt = -(\tau+1)F_2(\beta)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(t)dt$$ (66)

となるように見える。 しかし、$F_2(x)$ は $x=1$ の近くで有界ではないので、 そこは細かく考える必要がある。

ここでは、 $\mu_0(t) = -\tau\psi_0(t)-\tilde{\psi}_0(t)\in\mathcal{S}$ と 置いて、

  $$I^{(0)}_n = \int_{-\infty}^{W_n}\mu_0(t)F_2\left(\beta-\frac{t}{N_n}\right)dt = \int_0^\infty N_n\mu_0(N_n(\beta-x))F_2(x)dx$$ (67)

とする。なお、$F_2(x)$ は $x=1$ の近くでは有界ではないが、 そこでは命題 1 より対数オーダーで、 よって $\vert x-1\vert\leq 1/2$ に対して

  $$\vert F_2(x)\vert\leq \left\vert\log\vert x-1\vert\right\vert + C_1=-\log\vert x-1\vert+C_1$$ (68)

となる定数 $C_1$ が取れる。

もし (66) の極限が正しいとしても、 $F_2(\beta)$ は $\beta=1$、すなわち $a=w$ の近くでは 有界ではないので、 $I^{(0)}_n$ 単独では一様有界とはなり得ない。そこで、 $B^{(0)}_n$ の $I^{(0)}_n$ の積に含まれる $\eta^{(0)}$ から $(a-z)^p$ ($0<p<\tau$) を借りてきて、 これを用いて有界性を考えてみる。 なお、$p$ は例えば $p=\tau/2$ とすればよい。

$\beta=(w-a)/(w-z)$ より $a-z = (w-z)-(w-a) = (w-z)(1-\beta)$ であり、 $z<a<w$ より $0<\beta<1$ なので、

  $$\delta=\frac{1-\beta}{2} \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$$ (69)

として、

  $$(a-z)^pI^{(0)}_n = (a-z)^p\int_{1-\delta}^{1+\delta} dx + (a-... ...0^{1-\delta}+\int_{1+\delta}^{\infty}\right)dx = I^{(0)}_{n,3} + I^{(0)}_{n,4}$$ (70)

の 2 つに分けて考える。

$I^{(0)}_{n,3}$ では、

$$x-\beta\geq 1-\delta-\beta=\frac{1-\beta}{2}=\delta>0$$

なので、

	$$I^{(0)}_{n,3}$$	$=$	$$(a-z)^p\int_{1-\delta}^{1+\delta}N_n\mu_0(N_n(\beta-x))F_2(x) dx$$
		$=$	$$(w-z)^p(1-\beta)^p\int_{1-\delta}^{1+\delta} \frac{\mu_{0,1}(N_n(\beta-x))}{\beta-x}F_2(x) dx$$	(71)

とできる。ここで、 $\mu_{0,1}(t)=t\mu_0(t)\in\mathcal{S}$ とした。 これにより、

$$\vert I^{(0)}_{n,3}\vert \leq (w-z)^p(2\delta)^p\frac{1}{\delta}\Vert\mu_{0,1}\Vert _{L^\infty} \int_{1-\delta}^{1+\delta}\vert F_2(x)\vert dx$$

と評価される。 この最後の積分は、$\delta<1/2$ より (68) を用いれば、

$$\int_{1-\delta}^{1+\delta}\vert F_2(x)\vert dx \leq \int_{1-\delta}^{1+\delta}(C_1-\log\vert x-1\vert)dx = 2\delta(C_1+1-\log\delta)$$

となるから、

  $$\vert I^{(0)}_{n,3}\vert \leq 2^{p+1}(w-z)^p\delta^{p}(C_1+1-\log\delta)\Vert\mu_{0,1}\Vert _{L^\infty}$$ (72)

となり、よって $w,z\in [z_1,w_1]$, $z<a<w$ 上 $I^{(0)}_{n,3}$ は $n$ に関して一様有界であることがわかる。 なお、 $\Vert\mu_{0,1}\Vert _{L^\infty}$ は

$$\Vert\mu_{0,1}\Vert _{L^\infty} \leq \tau\Vert t\psi_0(t)\Vert _{L^\infty}+\Vert t^2\psi_0'(t)\Vert _{L^\infty}$$

なので、 $\psi_0\in\mathcal{S}$ ならば有界である。

$I^{(0)}_{n,4}$ の方は、$F_2(x)$ が $x=1$ の近くでなければ 有界なので、 $\vert x-1\vert\geq 1/2$ ならば $\vert F_2(x)\vert\leq C_2$ と評価できるが、 $\delta\leq \vert x-1\vert\leq 1/2$ では (68) より、

$$\vert F_2(x)\vert\leq -\log\vert x-1\vert+C_1\leq C_1-\log\delta$$

となり、よってすべての $\vert x-1\vert\geq\delta$ で

$$\vert F_2(x)\vert\leq C_2 + C_1-\log\delta$$

となるので、

	$$\vert I^{(0)}_{n,4}\vert$$	$\leq$	$$(a-z)^p(C_2 + C_1-\log\delta) \left(\int_0^{1-\delta}+\int_{1+\delta}^{\infty}\right) N_n\vert\mu_0(N_n(\beta-x))\vert dx$$
		$\leq$	$$2^p(w-z)^p\delta^p(C_2 + C_1-\log\delta)\Vert\mu_0\Vert _{L^1}$$	(73)

と評価でき、これも一様有界となる。なお、 $\Vert\mu_0\Vert _{L^1}$ は、

$$\Vert\mu_0\Vert _{L^1}\leq \tau\Vert\psi_0(t)\Vert _{L^1}+\Vert t\psi_0'(t)\Vert _{L^1} <\infty$$

である。 (72), (73) により、 $(a-z)^pI^{(0)}_n$ の一様有界性が保証される。

次は極限。まず $I^{(0)}_{n,3}$ であるが、(71) で考えると、 $F_2(x)$ は $L^1$ であり、$x>1-\delta$ では $x-\beta>0$ であり、 $N_n\rightarrow\infty$ なので、 $\mu_{0,1}(N_n(\beta-x))\rightarrow 0$ となる。 よって、$I^{(0)}_{n,3}$ は 0 に収束する。

$I^{(0)}_{n,4}$ は、 $N_n(\beta-x)=t$ とすると、 $1-\beta=2\delta$ より

$$I^{(0)}_{n,4} = (a-z)^p\left(\int_{-N_n\delta}^{W_n} +\int_{-\infty}^{-3N_n\delta}\right) \mu_0(t)F_2\left(\beta-\frac{t}{N_n}\right)dt$$

となり、$\mu_0(t)$ は $L^1$ で、 $W_n\rightarrow\infty$, $N_n\delta \rightarrow\infty$ であり、 $F_2(\beta-t/N_n)$ は、 $\vert\beta-t/N_n-1\vert\geq\delta$ より有界で $F_2(\beta-t/N_n)\rightarrow F_2(\beta)$ となるから、 Lebesgue 収束定理より

$$I^{(0)}_{n,4}\rightarrow (a-z)^p F_2(\beta)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\mu_0(t)dt$$

となる。ここで、

$$\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\mu_0(t)dt = -\int_{\mbox{\... ...lde{\psi}_0(t))dt = -(\tau+1)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(t)dt$$

なので、以上をまとめると、 $(a-z)^pI^{(0)}_n$ は一様有界で、 $n\rightarrow\infty$ に対して、

  $$(a-z)^pI^{(0)}_n\rightarrow -(\tau+1)(a-z)^pF_2(\beta)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}}\psi_0(t)dt$$ (74)

となる。

命題 4

$B^{(0)}_n$ は $w,z\in [z_1,w_1]$, $a\in\mbox{\boldmath$R$}$ 上 $n$ に関して一様有界で、 $n\rightarrow\infty$ に対し、

$$B^{(0)}_n\rightarrow J_0(w,z,a)\int_{\mbox{\scriptsize\boldmath$R... ...au+1)\frac{(w-z)^\tau}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)} \eta^{(0)}F_2(\beta)$$

となる。