1 はじめに

$\sin x$, $\cos x$ の導関数を求めるときに使われる極限

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$ (1)

には、循環論法が起こりうることが指摘されている。 それは、(1) の証明に扇形の面積を使うものがあるのだが、 それだと循環論法になってしまう、 つまりその証明で使われる命題をたどると結局 (1) の結果を 使っていることになる、という主張である。

実際、手近のいくつかの教科書や参考書などを見ると、 (1) を扇形の面積を用いて証明しているものがいくつかある。

その循環論法を避けるために、(1) を扇形の弧の長さを用いて 証明をしている場合もあるが、それはそれで問題がないわけではない。

それらに関して、少し考えたこともあるので、ここに書いておく。