2 三角関数のグラフ

[1] では、1 辺が $2\pi$ の正方形を丸めて円柱にしたときの、 元の正方形の対角線の射影が $y=\sin x$ のグラフとなることを利用したが、 今回はまた別な形の $y=\sin x$ のグラフを利用する。

まず、底面が半径 1 の円で、高さ 1 の円柱を考え、 その底面を $xy$ 平面に置き、中心を原点に合わせる。 なお、曲面の実体としてはその側面 $S$ だけあればよい (図 1)。

図 1: 円柱 $S$

図 2: $C$ と $S_1$

$S$ は $S=\{(x,y,z): x^2+y^2=1, 0\leq z\leq 1\}$ と表される。

次に、この側面 $S$ を、原点を通り $xy$ 平面と $45^\circ$ の角を なす平面 $H=\{(x,y,z): y=z\}$ で切り、 その切り口の曲線を $C$, $S$ の $C$ より下の部分を $S_1$ と する (図 2)。

$$\begin{array}{ll} C &= H\cap S = \{(x,y,z): x^2+y^2=1, y... ...\ S_1 &= \{(x,y,z): x^2+y^2=1, 0\leq z\leq y\} \end{array}$$ (1)

$C$ は、(1) よりわかるように、 $y$ 軸の負の方向から見れば $x^2+z^2=1$ の円の 上半分になる (図 3)。

図 3: $S_1$ の $xz$ 平面への射影

さて、$H$ によって切り取られた下の部分である $S_1$ を平らな 面に展開すると、$C$ の切り口の部分は $\sin x$ のグラフの形 になることを示す (図 4)。

図 4: 円柱を上から見た図と $S_1$ の展開図

元の円柱を真上から見たとき、切り口 $C$ 上の点 P は、単位円周上にあるが、 その中心角を $\theta$ とすると、P の座標 ($x$, $y$, $z$) は、$y=z$ より

$$(x,y,z) = (\cos\theta, \sin\theta, \sin\theta)$$

となる。 一方、$S_1$ を展開したときの端からの横座標 $x'$ は、 元の円柱底面の円の弧長、すなわち $\theta$ であり、 よって展開した図での P に対応する切り口の点 P' の座標 ($x'$, $y'$) は

$$(x', y') = (\theta, \sin\theta)$$

となり、よって $y'=\sin x'$ ( $0\leq x'\leq \pi$) となる。 ここから、$S_1$ の展開図の切り口は $\sin$ のグラフになることがわかり、 そして $A$ はこの $S_1$ の面積に等しいことがわかる。