2 公式

まず、一般のベッセル関数 $J_\nu(x)$、ノイマン関数 $N_\nu(x)$ について、 次の漸化式が成り立つことがよく知られている (例えば [2] 38)。

  $$J_{\nu+1}(x)+J_{\nu-1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x), \hspace{1zw} N_{\nu+1}(x)+N_{\nu-1}(x) = \frac{2\nu}{x}N_{\nu}(x)$$ (1)

また [2] によれば (39)、半ベッセル関数は 以下のように表されるようである。

  $$\begin{array}{ll} J_{n+1/2}(x) &= \displaystyle (-1)^n\sqrt{\fr... ...,x^{n+1} \left(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\right)^n\frac{\cos x}{x} \end{array}$$ (2)

この公式 (2) がを使えば、 とりあえずすべての半ベッセル関数を $\sin x$, $\cos x$ で表すことができるが、 (2) は商の関数の $n$ 階微分、 しかも $1/x$ が微分の度にかけ算されるという公式なので、 大きい $n$ に対する計算はかなり手間がかかる。

実際、これを用いて、最初の 3 つの微分の部分を計算してみると 以下のようになる。

$$\begin{eqnarray*}\frac{1}{x}\sqrt{\frac{\pi x}{2}}J_{1/2}(x) &=& \frac{\sin x... ...^{-2}-3x^{-4})\cos x) \\ &=& \frac{3x\sin x-(x^2-3)\cos x}{x^5}\end{eqnarray*}$$

このうち、それぞれ 3 つ目の $J_{5/2}$, $N_{5/2}$ は、 公式 (2) で計算するよりも、 むしろ漸化式 (1) と 1/2, 3/2 次の関数を使って 計算する方が、微分の計算なしに代数計算だけで済む分易しい。

(2) の公式でも上の計算のように、 ひとつ前の計算を利用して次の次数が計算できるが、 やはり微分の計算は必要なので、 漸化式 (1) の代数計算に比べれば多少面倒である。