4 使用方法 2. も含めた考察

次は、使用方法 2. も含めた考察を行う。

ポイントの分だけ値引きされると考えるのであれば、 支払い額が大きいほど大きなポイントがもらえて得となるので、 ポイントを毎回使用するよりも、 使用方法 2. の方が得のようにも思える。 よって、今度は、具体的な $A$, $x$, $n$ に対して、 端数の処理も考えた上で使用方法 1. と 2. の比較を行うことにする。 ポイントの端数 (小数以下) は切り上げとする。

$A=10000$ 円、$x=0.1$ (10%), $n=11$ とすると、各支払い額、 ポイント値は使用方法 1., 2. で以下のようになる。

	使用方法 1.		使用方法 2.
回数 $j$	支払い額 $B_j$	ポイント数 $p_j$	支払い額 $B_j$	ポイント数 $p_j$
1	10000	1000	10000	1000
2	9000	900	10000	2000
3	9100	910	10000	3000
4	9090	909	10000	4000
5	9091	910	10000	5000
6	9090	909	10000	6000
7	9091	910	10000	7000
8	9090	909	10000	8000
9	9091	910	10000	9000
10	9090	909	10000	10000
11	9091	910	0	0
合計	100,824 円	(10086)	100,000 円

この表から、以下のことがわかる。

• 端数が切り上げられるため、使用方法 1. でも 途中から同じパターンが繰り返される。
• 支払い額の合計 ($S$) で見ると、使用方法 2. の方が 824 円得で、 値引率は、使用方法 1. では

  $$\frac{nA-S}{nA} = \frac{110,000 - 100,824}{110,000} = \frac{9,176}{110,000} = 8.34\%$$

  
  使用方法 2. では

  $$\frac{nA-S}{nA} = \frac{110,000 - 100,000}{110,000} = \frac{10,000}{110,000} = 9.09\%$$

  
  
• 最後に残るポイント数 $p_n$ も追加して考えると、 使用方法 1. の方は得した金額は

  $$nA-S+p_n = 110,000 - 100,824 + 910 = 10,086 円$$

  
  値引率は

  $$\frac{10,086}{110,000} = 9.17\%$$

  
  使用方法 2. は $p_n=0$ なので $nA-S$ の場合と変わらない

最後のポイントも含めると、得した金額は使用方法 1. では 当然それはポイント合計に等しくなる。 それが使用方法 2. の 10,000 円を上回るのは、 11 回目の代金では使用方法 2. にポイントが 1 円もつかないからである。 つまり、支払い額だけ考えれば使用方法 2. の方が得に見えるが、 長く利用する店であれば、最後のポイントをまた今後も使用するので、 必ずしも使用方法 2. の方が得であるとは限らないことになる。

なお、最後のポイント数は完全に得をした金額と言えるわけではなく、 将来使える金額なので、 博打の中止問題のように全額を得した金額に入れるのでなく、 その何割かのみを入れるべきなのかもしれない。

また、使用方法 1. や 2. 以外の方法で、 さらに得をする方法があるかどうかはわからないし、 $A$, $x$, $n$ の数値が変われば別な結果が得られるかもしれないが、 常識的な数値ではほぼ同様の結果となるだろうと思う。