8.4 例 4

最後に、回転軸ベクトルから $A$ を構成する計算を一つ紹介する。 回転軸ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ を

$$\mbox{\boldmath$n$}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}{1}\\ {1}\\ {-1}\end{array}\right]$$

とし、$\psi=2\pi/3$ とする。このとき、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$n$}\,{}^T\!{\mbox{\boldmath$n$}} &=& \frac{1}... ...}{0}&{1}&{1}\\ {-1}&{0}&{-1}\\ {-1}&{1}&{0}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となるので、(40) より、

$$\begin{eqnarray*}A &=& \frac{1}{2}\,E + \frac{1}{2}\,\mbox{\boldmath$n$}\,{}^T... ...}{2}&{2}&{1}\\ {-1}&{2}&{-2}\\ {-2}&{1}&{2}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。

ついでに、この行列の $z-y-z$ の回転角 $\phi',\theta',\psi'$ も 計算してみると、 $\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi',\theta')$ より、

$$\begin{eqnarray*}\sin\theta' &=& \frac{2}{3}, \hspace{1zw}\cos\theta' = \sqrt{1... ...{\sqrt{5}} \hspace{1zw}\left(\psi' = \phi'-\frac{3\pi}{2}\right)\end{eqnarray*}$$

となり、 $\mbox{\boldmath$n$}$ を $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ の形に表した角 ( $\sin\theta=-1/\sqrt{3}$ 等) とはあまり関係ない角になっていることも わかるだろう。