2.4 2 階微分の計算

次はラプラシアン

$$\triangle f = f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$$

の計算のために、 (8), (9), (10) を繰り返し用いることで 2 階微分を計算する。

例えば $f_{xx}$ は、 $f_x$ を $r,\phi,\theta$ の関数と見たものを $\hat{f}_x$ と書けば、 (8) より

$$(f_x)_x = (\hat{f}_x)_r\cos\phi\cos\theta -(\hat{f}_x)_\phi\... ...}{r\cos\theta} -(\hat{f}_x)_\theta\frac{\cos\phi\sin\theta}{r}$$

と書けることになるが、 $\hat{f}_x$ 自体が (8) の右辺そのものなので、

$$\begin{eqnarray*}(f_x)_x &=& \left(g_r\cos\phi\cos\theta -g_\phi\frac{\sin\ph... ...\theta}{r^2} +g_\theta\frac{\cos^2\phi\cos\theta\sin\theta}{r^2}\end{eqnarray*}$$

となり、これを整理して、

$$f_{xx} = g_{rr}\cos^2\phi\cos^2\theta +g_{\phi\phi}\frac{\sin^2\phi}{r^2\cos^2\theta} +g_{\theta\theta}\frac{\cos^2\phi\sin^2\theta}{r^2}$$

$$-2g_{r\phi}\frac{\cos\phi\sin\phi}{r} -2g_{r\theta}\frac{\cos^2\p... ...\sin\theta}{r} +2g_{\phi\theta}\frac{\cos\phi\sin\phi\sin\theta}{r^2\cos\theta}$$

$$+g_r\frac{\sin^2\phi+\cos^2\phi\sin^2\theta}{r} +2g_{\phi}\frac{\cos\phi\sin\phi}{r^2}$$

$$+g_\theta\frac{2\cos^2\phi\cos^2\theta\sin\theta-\sin^2\phi\sin\theta}% {r^2\cos\theta}$$ (11)

が得られる。

同様に (9) より、

$$\begin{eqnarray*}(f_y)_y &=& (\hat{f}_y)_r\sin\phi\cos\theta +(\hat{f}_y)_\ph... ...\theta}{r^2} +g_\theta\frac{\sin^2\phi\cos\theta\sin\theta}{r^2}\end{eqnarray*}$$

となるので、これを整理して、

$$f_{yy} = g_{rr}\sin^2\phi\cos^2\theta +g_{\phi\phi}\frac{\cos^2\phi}{r^2\cos^2\theta} +g_{\theta\theta}\frac{\sin^2\phi\sin^2\theta}{r^2}$$

$$+2g_{r\phi}\frac{\cos\phi\sin\phi}{r} -2g_{r\theta}\frac{\sin^2\p... ...\sin\theta}{r} -2g_{\phi\theta}\frac{\cos\phi\sin\phi\sin\theta}{r^2\cos\theta}$$

$$+g_r\frac{\cos^2\phi+\sin^2\phi\sin^2\theta}{r} -2g_{\phi}\frac{\cos\phi\sin\phi}{r^2}$$

$$+g_\theta\frac{2\sin^2\phi\cos^2\theta\sin\theta-\cos^2\phi\sin\theta}% {r^2\cos\theta}$$ (12)

となる。

そして最後に (10) より、

$$\begin{eqnarray*}(f_z)_z &=& (\hat{f}_z)_r\sin\theta+(\hat{f}_z)_\theta\frac{\... ...rac{\cos^2\theta}{r^2} -g_\theta\frac{\cos\theta\sin\theta}{r^2}\end{eqnarray*}$$

であるから、

$$f_{zz} = g_{rr}\sin^2\theta +g_{\theta\theta}\frac{\cos^... ...ac{\cos^2\theta}{r} -2g_\theta\frac{\cos\theta\sin\theta}{r^2}$$ (13)

となる。