2 デルタ関数と問題

デルタ関数 $\delta(x)$ は通常の関数ではなく超関数で、 通常は

  $$\delta(x) = \left\{\begin{array}{ll} \infty & (x=0)\\ 0 & (x\neq 0) \end{array}\right. ,\hspace{1zw}\int\delta(x)dx = 1$$ (1)

のようにみなされ、連続関数 $f(x)$ に対し

  $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f(x)dx = f(0)$$ (2)

のような性質を持つものとして知られている。 当然、通常の実数値関数にはそういうものはなく、 数学では $\mathcal{D} = C_0^\infty$ 上の汎関数 ($\mathcal{D}'$) として、

  $$\langle\delta(x),\phi(x)\rangle = \phi(0)\hspace{1zw}(\phi\in\mathcal{D})$$ (3)

を満たすものとして定義される。

一般に超関数 $T(x)\in\mathcal{D}'$ に $C^\infty$ 関数 $\alpha(x)$ をかけた $\alpha(x)T(x)$ も $\mathcal{D}'$ 上に定義でき、それは

  $$\langle\alpha(x)T(x),\phi(x)\rangle = \langle T(x),\alpha(x)\phi(x)\rangle$$ (4)

となる。そして、超関数 $T$ の微分 $T'$ は、

  $$\langle T'(x),\phi(x)\rangle = -\langle T(x),\phi'(x)\rangle$$ (5)

の部分積分形で定義される。

さて気になった式というのは、デルタ関数 $\delta(x)$ に $C^\infty$ 関数 $\alpha(x)$ をかけた $\alpha(x)\delta(x)$ の導関数であるが、 当然積の微分から、

  $$(\alpha(x)\delta(x))' = \alpha'(x)\delta(x)+\alpha(x)\delta'(x)$$ (6)

となるのであるが、デルタ関数の性質 (1) から、実は

  $$\alpha(x)\delta(x) = \alpha(0)\delta(x)$$ (7)

となることが知られている。ここからすると、 積の微分 (6) は、

  $$(\alpha(x)\delta(x))' = \alpha'(x)\delta(x)+\alpha(x)\delta'(x) = \alpha'(0)\delta(x)+\alpha(0)\delta'(x)$$ (8)

となるような気がするが、一方、微分の前に (7) を適用すると、

  $$(\alpha(x)\delta(x))' = (\alpha(0)\delta(x))' = \alpha(0)\delta'(x)$$ (9)

となって、(8) と合わないような気がする。 これは、果たしてどちらが正しいのだろうか、という話である。