3 一般の曲線の場合

次は、2. の一般の曲線の場合はどうなるかを、 本節以降で考察する。

円の場合は、外に $a$ ($>0$) だけ距離をあけた曲線は、 元の曲線に「相似」な円となるが、一般の曲線の場合は必ずしもそうではない。

例えば、正方形の場合でも、「$a$ だけ距離を開けた曲線」は、 実は前節の相似な正方形ではなく、四隅を円弧に置き換えたものに なる (図 5)。

図 5: 正方形から $a$ だけ距離を開けた曲線

ちなみに、この場合は 2 つの曲線の周長の差は、四隅の円弧の部分に なり、そこから半径 $a$ の円が構成できるので $2\pi a$ となり、 円の場合の差 (1) に一致にする。 そしてこの値は、実は正方形に限らず、一般の四角形でも、 また三角形でも成立する (図 6)。

図 6: 一般の四角形、三角形の場合

これがより一般の曲線の場合にも成立するのかを考えてみる。