正解例

情報数学 II 期末テスト

01/26 2001 (4 限)

以下の問いの解答を解答用紙に書け。試験中、教科書およびノートを見ても構わ ない。

[1] $F(s)=\mbox{$\cal L$}[f(x)]$, $G(s)=\mbox{$\cal L$}[g(x)]$ ($\cal L$ はラプラス変換) とするとき、次の関数のラプラス変換を、 $F(s)$, $G(s)$ を使って表せ。

1. $$4f(x)-\frac{5}{3}g(x)$$
2. $$2f\left(\frac{x}{2}\right)-\mbox{\large\it e}^{3x}g(x)$$
3. $\{xf(x)\}'+xg'(x)$

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[2] 周期 $2\pi$ の 2 つの関数

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 & (-\pi<x<0),\\ -2 & (0<x... ...x+2\pi & (-\pi<x<0),\\ -2x+2\pi & (0<x<\pi)\end{array}\right.$$

に対して次の問いに答えよ。

1. $f(x)$ のフーリエ級数を求めよ。
2. $g'(x)=f(x)$ であることを利用して、$g(x)$ のフーリエ級数を求めよ。

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[3] フーリエ級数の各点収束性について、例をあげて 説明せよ。

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[4] 次の問に答えよ。

1. $\mbox{$\cal L$}[u(x)]=U(s)$, $\mbox{$\cal L$}[v(x)]=V(s)$ とするとき、 $\mbox{$\cal L$}[u'+2v]$, $\mbox{$\cal L$}[u+2v']$ を $U$, $V$, $u(0)$, $v(0)$ を用いて表せ。
2. 連立微分方程式
   
   $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle u'+2v=0, \\ \displaystyle u+2v'=2x+2, \\ u(0)=0,\ v(0)=-2 \end{array}\right.$$
   
   
   を満たす関数 $u(x)$, $v(x)$ を求めよ。

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