next up previous
Next: この文書について... (PDF ��������: independ.pdf)

平成 13 年 6 月 08 日
連続分布の確率変数の独立性条件
新潟工科大学 情報電子工学科 竹野茂治

連続分布の場合、次の 3 つは同値


定理 1

  1. $x$ と $y$ は独立
  2. $F(x,y)=G(x)H(y)$ ( $F(x,y),G(x),H(y)$: それぞれ $(x,y), x, y$ の分布関数)
  3. $f(x,y)=g(x)h(y)$ ( $f(x,y),g(x),h(y)$: それぞれ $(x,y), x, y$ の密度関数)


なお、(1) の定義は次の通り。


定義 2

連続分布に従う $x$ と $y$ が 独立 であるとは、 任意の実数 $a\leq b$, $c\leq d$ に対して

\begin{displaymath} \mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\}=\mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b\}\mathrm{Prob}\{c\leq y\leq d\} \end{displaymath}

となること。


証明

(1) $\Longrightarrow$ (2)

任意の $a\leq b$, $c\leq d$ に対して

\begin{displaymath} \mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\}=\mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b\}\mathrm{Prob}\{c\leq y\leq d\} \end{displaymath}

であり、一方、

\begin{eqnarray*} && \mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\}=F(b,d)-F(a,... ...q b\}=G(b)-G(a)\\ && \mathrm{Prob}\{c\leq y\leq d\}=H(d)-H(c) \end{eqnarray*}



なので

\begin{displaymath} F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)=\{G(b)-G(a)\}\{H(d)-H(c)\} \end{displaymath}

ここで $a\rightarrow -\infty$ とすると

\begin{eqnarray*} && G(a)=\mathrm{Prob}\{x\leq a\}\rightarrow 0,\\ && F(a,d)=... ...ob}\{x\leq a\}\rightarrow 0 \mbox{ より } F(a,c)\rightarrow 0 \end{eqnarray*}



となるので

\begin{displaymath} F(b,d)-F(b,c)=G(b)\{H(d)-H(c)\} \end{displaymath}

となる。同様に $c\rightarrow -\infty$ とすると $H(c)\rightarrow 0$, $F(b,c)\leq H(c)$ より $F(b,c)\rightarrow 0$ となり、結局

\begin{displaymath} F(b,d)=G(b)H(d) \end{displaymath}

となる。$b$, $d$ は任意なので (2) がいえたことになる。

(2) $\Longrightarrow$ (3)


\begin{displaymath} f(x,y)=F_{xy}(x,y)=\{G(x)H(y)\}_{xy} =\{G'(x)H(y)\}_{y} = G'(x)H'(y)=g(x)h(y) \end{displaymath}

(3) $\Longrightarrow$ (1)

\begin{eqnarray*} \lefteqn{\mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\}}\\ ... ... & \mathrm{Prob}\{a\leq x\leq b\}\mathrm{Prob}\{c\leq y\leq d\} \end{eqnarray*}





next up previous
Next: この文書について...
Shigeharu TAKENO
2001年 8月 9日