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4 区分求積法

数列の和

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$$

は、

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k/n} \frac{1}{n}$$

と変形すればわかるが、丁度区分求積の公式

$$\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}$$ (3)

の右辺が適用できる形をしていて、$f(x)=1/(1+x)$ の場合に対応する。 よって、

$$\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow}S_{2n} &=& \lim_{n\rightarrow}\sum_{k=1}^n... ...og (1+x)\right]_{x=0}^{x=1} = \log 2-\log1 %\ &=& = \log 2\end{eqnarray*}$$

となる。

以上で、(1) の値が $\log 2$ であることが 示されたことになる。

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