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2 補題

考える級数 (1) の部分和

$$S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{k}$$

の極限を考えればよいが、まず次の補題を示す。

補題 1

無限級数 $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ の部分和 $$S_n = \sum_{k=1}^n a_n$$ について、

$$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}=\alpha, \hspace{1zw}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=0$$

ならば、この無限級数は収束し $$\sum_{n=1}^\infty a_n = \alpha$$ となる。

証明

$$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}=\alpha$$ であるし、 $S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$ より、仮定から

$$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}+\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1} =\alpha$$

なので、よって $$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\alpha$$ となる。

この無限級数 (1) に対しても、明らかに

$$a_{2n+1} = \frac{1}{2n+1}\rightarrow 0$$

なので、$S_{2n}$ の極限を考えればよい。

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