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4.2 4.1 節の結果を用いる方法

4.1 節の結果である (3) を利用して、 未定係数法でこの積分を求める、という方法もある。

例 2

積分

$$\int\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3}dt$$

を未定係数法で求める。 4.1 節の結果 (3) により、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3}dt = t\times\left(\mbox... ... & \frac{pt}{(t^2+1)^2}+\frac{qt}{t^2+1} + rt + a\tan^{-1}t + C \end{eqnarray*}$$

とする ($p,q,r,a$ は未定係数)。ただし (3) を導き出す過程を詳しく見るとわかるが、 実際には $1/(t^2+1)$ の 2 次式の定数項 $r$ は不要である。

この式の両辺を微分する。

$$\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3} = \left\{\frac{pt}{(t^2+1)^2}\right\}'+\left(\frac{qt}{t^2+1}\right)' + r + \frac{a}{t^2+1}$$

であり、

$$\left\{\frac{pt}{(t^2+1)^2}\right\}' = \{pt(t^2+1)^{-2}\}'... ...2+1)^{-3}2t = \frac{p}{(t^2+1)^2} - \frac{4pt^2}{(t^2+1)^3},$$

$$\left(\frac{qt}{t^2+1}\right)' = \frac{(qt)'(t^2+1)-qt(t^2... ...\frac{q(t^2+1)-2qt^2}{(t^2+1)^2} = \frac{-qt^2+q}{(t^2+1)^2}$$

なので、よって

$$\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3} = \frac{p}{(t^2+1)^2} - \frac{4pt^2}{(t^2+1)^3} + \frac{-qt^2+q}{(t^2+1)^2}+ r + \frac{a}{t^2+1}$$

となる。簡単のため、$t^2+1=u$, すなわち $t^2=u-1$ とすると、

$$\frac{2(u-1)-3}{u^3} = \frac{p}{u^2} - \frac{4p(u-1)}{u^3} + \frac{-q(u-1)+q}{u^2}+ r + \frac{a}{u}$$

となり、両辺 $u^3$ 倍すると

$$\begin{eqnarray*} 2u-5 & = & pu-4p(u-1) + (2q-qu)u +ru^3 + au^2\\ & = & ru^3 + (a-q)u^2 + (-3p + 2q)u + 4p \end{eqnarray*}$$

となる。よって係数比較すれば

$$\left\{\begin{array}{lll} r & = & 0\\ a-q & = & 0\\ -3p+2q & = & 2\\ 4p & = & -5 \end{array}\right.$$

の連立方程式を得、これを解いて $p=-5/4$, $q=-7/8$, $r=0$, $a=-7/8$ を得る。 ゆえに

$$\int\frac{2t^2-3}{(t^2+1)^3}dt = -\frac{5t}{4(t^2+1)^2}-\frac{7t}{8(t^2+1)} -\frac{7}{8}\tan^{-1}t + C$$

である。