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2 部分分数分解

有理関数の分母にある (実数係数の) 多項式は、代数学の基本定理により 1 次式、および実数の範囲では因数分解できない 2 次式の積で因数分解 できることが保証されるので、一般の有理関数は部分分数分解を行えば

• 多項式
• $$\frac{\mbox{(高々 $(n-1)$\ 次式)}}{(x-a)^n}$$ ($n=1,2,\ldots$)
• $$\frac{\mbox{(高々 $(2n-1)$\ 次式)}}{\{(x-a)^2+b^2\}^n}$$ ($n=1,2,\ldots$)

のような形のものの和に分解されることになる。

多項式の積分は容易、2 番目の形のものも $x-a=t$ と置換すれば $t^{-k}$ ( $k=1,2,\ldots, n$) の形の項の和になり、 これも容易に積分できる。

問題は最後の形のものであるが、これは $x-a=bt$ と置換することで

$$\frac{\mbox{($t$\ の高々 $(2n-1)$\ 次式)}}{(t^2+1)^n}$$

となり、これを

$$\frac{\mbox{(奇数次の項)}}{(t^2+1)^n} + \frac{\mbox{(偶数次の項)}}{(t^2+1)^n}$$

の二つに分けて考えることにする。