2 極限による通常の定義
現在、導関数の定義は、極限を用いて、
![\begin{displaymath}
f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{displaymath}](img9.gif) |
(1) |
のように行われる。
しかし、それによって通常行われる積の微分、商の微分の証明は、
やや見通しが悪いように思う。
例えば積の微分は、通常以下のように行われる。
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{(f(x)g(x))'
=
\lim_{\Delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\D...
...{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\,g(x)
\\ &=&
f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\end{eqnarray*}](img10.gif)
この途中の変形は、やや不自然に見えて、あまりわかりやすい証明とは
言えないと感じるが、以下のようにすると多少は改善すると思う。
とすると、
,
で、
より、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{(f(x)g(x))'
=
\lim_{\Delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\D...
...\frac{\Delta f}{\Delta x}\Delta g\right)}
=
f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\end{eqnarray*}](img15.gif)
となる、というやり方である。
これなら、途中の計算は自然に展開するだけなので、
よりわかりやすいだろうと思う。
実は、この方法は「無限小」による証明に近い手法である。
竹野茂治@新潟工科大学
2015年12月7日