6 球の表面積

ついでに、$n$ 次元球の球面

$$\{\mbox{\boldmath$x$};\ x_1^2+\cdots+x_n^2=r^2\}$$

の面積 $S_n(r)$ は、

$$\frac{d}{dr}V_n(r)=S_n(r),\hspace{1zw} \int_0^rS_n(t)dt = V_n(r)$$

であることが言える (ちゃんとした説明は、$n>3$ の場合は少し面倒)。

よって、

$$S_n(r)=n\alpha_n r^{n-1} = \left\{\begin{array}{ll} \displa... ...pi^mr^{2m}}{1\cdot 3\cdots (2m-1)} & (n=2m+1)\end{array}\right.$$

となる ($m\geq 1$)。

例えば、4 次元球では体積、表面積は

$$V_4(r)=\frac{2^2\cdot\pi^2}{2\cdot 4}r^4=\frac{\pi^2}{2}r^4, \hspace{1zw} S_4(r)=2\pi^2 r^3$$

5 次元球では、

$$V_5(r)=\frac{2^3\cdot\pi^2}{1\cdot 3\cdot 5}r^5=\frac{8\pi^2}{15}r^5, \hspace{1zw} S_5(r)=\frac{8\pi^2}{3}r^4$$

のようになる。