4 積分 (7) の計算

積分 (7) の計算は、右辺を $t=\sin\theta$ ( $0\leq\theta\leq\pi/2$) と置換すると、

$$I_n = \int_0^{\pi/2}(1-\sin^2\theta)^{(n-1)/2}\cos\theta d\theta = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta d\theta$$

となる。今 $n\geq 2$ に対して、

$$I_n =\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}\theta \cos\theta d\theta =\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}\theta (\sin\theta)' d\theta$$

として部分積分する。合成関数の微分により、

$$\begin{eqnarray*}(\cos^{n-1}\theta)' &=& \frac{du^{n-1}}{d\theta}\hspace{1zw}(... ...-1)u^{n-2}(-\sin\theta) \\ &=& -(n-1)\cos^{n-2}\theta\sin\theta\end{eqnarray*}$$

なので、部分積分により、

$$\begin{eqnarray*}I_n &=& \left[\cos^{n-1}\theta\sin\theta\right]_{\theta=0}^{\... ...\pi/2}\cos^n\theta d\theta\right\} \\ &=& (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{eqnarray*}$$

となり、よって移行すれば $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ となるので、

$$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\hspace{1zw}(n\geq 2)$$ (9)

となることがわかる。ここで、

$$I_0=\int_0^{\pi/2} 1 d\theta=\frac{\pi}{2}, \hspace{1zw} I_1... ...a d\theta =\left[\sin\theta\right]_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}=1$$

であるから、(9) により、

$$\begin{eqnarray*}I_2 &=& \frac{1}{2}\times I_0 =\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2},... ... &=& \frac{4}{5}\times I_3 =\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}\times 1\end{eqnarray*}$$

のようになり、よってこれを続けると、

$$\left\{\begin{array}{lll} I_{2n} & = & \displaystyle \frac... ... 2}{% (2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3}\times 1 \end{array}\right.$$ (10)

となることがわかる。