5 直交行列の標準形

直交行列も実正規行列なので、 前節の標準形 $S_1$ に変形できる。 直交行列の固有値については、次のことが知られている。

定理 5.1 直交行列 $A$ の固有値 $\lambda\in\mbox{\boldmath$C$}$ はすべて $\vert\lambda\vert=1$ となる。

証明

$\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルを $\mbox{\boldmath$\alpha$}\in\mbox{\boldmath$C$}^n$ と する ( $\mbox{\boldmath$\alpha$}\neq\mbox{\boldmath$0$}$)。 $A\mbox{\boldmath$\alpha$}=\lambda\mbox{\boldmath$\alpha$}$, $A^{\ast}=\,{}^t\!{A}$, $\,{}^t\!{A}A=E$ より、

$$\begin{eqnarray*}\langle{A\mbox{\boldmath$\alpha$},A\mbox{\boldmath$\alpha$}}\ra... ... \ =\ \vert\lambda\vert^2\vert\mbox{\boldmath$\alpha$}\vert^2 \end{eqnarray*}$$

となる。 $\vert\mbox{\boldmath$\alpha$}\vert\neq 0$ より、 $\vert\lambda\vert^2=1$、よって $\vert\lambda\vert=1$ が得られる。

この定理 5.1 により、 直交行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は、

$$\lambda = 1\ (\ell\ 重解)、-1\ (m\ 重解) 、 e^{\pm i\theta_1},\ldots,e^{\pm i\theta_k} \hspace{1zw}(\ell+m+k=n,\ 0<\theta_j<\pi)$$

と書け、

$$T(e^{i\theta_j})=T(\cos\theta_j+i\sin\theta_j) =\left[\begin{arra... ...\cos\theta_j & -\sin\theta_j\\ \sin\theta_j & \cos\theta_j\end{array}\right]$$

によって直交行列の標準形は

$$\left[\begin{array}{ccccccccc}% T(e^{i\theta_1}) &&&&&&&\multico... ...ulticolumn{2}{c}{\raisebox{0ex}{\smash{\Huge$0$}}}&&&&&&& -1\end{array}\right]$$

となる。