さらに交代行列は実数成分の直交行列によって、 対角行列とは別の形の標準形に変形できることも知られているが、 交代行列はあまりメジャーではないせいか、 標準形の結果はいくつかの線形代数の教科書などには見られるものの (例えば [3])、 その変形の詳しい話があまり紹介されていない。
そこで本稿でそれを紹介するが、 基本的な実ベクトル空間、行列の基本的な計算、 行列式の計算程度の知識を仮定する。