15.3.2 種々の楕円積分 (elliptic integrals)

関数 EllipticK(k) は、第 1 種完全楕円積分、すなわち、関数 (1 - k^2*sin^2(θ))^(-0.5) の 0 からπ/2 までの範囲の広義積分の値を 返します。k の定義域は -1 から 1 です (両端は含まない)。

        EllipticK (k) = $\int_{0}^{{\pi/2}}$$\sqrt{{1-k^2\sin^2\theta}}$ ^-1 d$\theta$

関数 EllipticE(k) は、第 2 種完全楕円積分、すなわち、関数 (1 - k^2*sin^2(θ))^(-0.5) の 0 からπ/2 までの範囲の広義積分の値を 返します。k の定義域は -1 から 1 です (両端も含む)。

        EllipticE (k) = $\int_{0}^{{\pi/2}}$$\sqrt{{1-k^2\sin^2\theta}}$ d$\theta$

関数 EllipticPi(n,k) は、第 3 種完全楕円積分、すなわち関数 (1 - k^2*sin^2(θ))^(-0.5) / (1 - n*sin^2(θ)) の 0 からπ/2 までの 範囲の広義積分の値を返します。パラメータ n は 1 より小さく、k は -1 と 1 の間 (両端は含まない) でなければいけません。定義より、すべての 正の k に対し EllipticPi(0,k) == EllipticK(k) であることに注意してく ださい。

        EllipticPi (n, k) = $\int_{0}^{{\pi/2}}$$\big[$(1-n sin²$\theta$)$\sqrt{{1-k^2\sin^2\theta}}$ $\big]^{{{-1}}}_{{}}$d$\theta$

楕円積分のアルゴリズム: B.C.Carlson 1995, Numerical Algorithms 10:13-26.