4 変形ベッセル関数の漸近展開
次に、変形ベッセル関数
の漸近展開を考える。
は、次のテイラー展開の形で定義される。
![\begin{displaymath}
I_0(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}
= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{x^{n}}{(2n)!!}\right\}^2\end{displaymath}](img96.gif) |
(11) |
これは、元々 0 次のベッセル関数
に対し、
を取ったもの、
すなわち
としたものであり、そのため
「変形」ベッセル関数と呼ばれる。
の漸近展開を求めるには (11) のテイラー展開のままでは
難しいので、次のような公式を利用する。
![\begin{displaymath}
I_0(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cosh(x\sin t)\,dt\end{displaymath}](img100.gif) |
(12) |
まず、この公式が成り立つことを示そう。
のマクローリン展開は、
であるから、(12) の右辺は、
![\begin{displaymath}
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m}\sin^{2...
...y\frac{x^{2m}}{(2m)!}\,\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin^{2m} t
\,dt\end{displaymath}](img103.gif) |
(13) |
となる。ここで、
とすると、部分積分により、
![\begin{eqnarray*}b_m
&=&
\int_0^\pi(-\cos t)'\sin^{2m-1}t\,dt
\\ &=&
[-\cos ...
...pi(1-\sin^2 t)\sin^{2m-2} t\,dt
\\ &=&
(2m-1)b_{m-1}-(2m-1)b_m\end{eqnarray*}](img105.gif)
となるから、
となる。よって、
が得られる。これを (13) の右辺に代入すれば (11) になるので、(12) が示されたことになる。
さて、(12) は、
![\begin{eqnarray*}I_0(x)
&=&
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\frac{e^{x\sin t}+e^{-x\sin...
...^{\pi/2}e^{-x\cos y}dy
+\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2}e^{x\cos y}dy\end{eqnarray*}](img108.gif)
と書き直すこともできるので、よって、
とし、この
,
, それぞれの漸近展開を求めることにする。
なお、明らかに
の方が
より大きいので、
の主要な展開項は
の方であることが予想される。
まず、
を考えよう。
では
だから、
のとき、
となることがわかる。
よって、この 0 への収束の速さ (オーダー) をまず考えてみる。
の 1 への収束は、
が 0 に近い程遅くなる。
つまりその近くが最も大きな項を与えると予想される。
よって
をさらに 2 つに分け、
とすると、この
の方が主要部となる。
なお、
自体にはあまり意味はなく、
から
のどこで分けても構わない。
では、
であるから、
![\begin{displaymath}
0\leq g_1(x)\leq \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/3}e^{-x/2}dy
=\frac{1}{3}\,e^{-x/2}\end{displaymath}](img126.gif) |
(14) |
となるので、
となる。
一方
の方は、
とすると、
となるが、
では
であるので、
となるから、
であることがわかる。
つまり、
の最も大きい項は
の
の項
だろうと予想される。
実際、部分積分により、
となり、よって
となることがわかる。
一方、(14) より
であるから、
よって
の第 1 近似は、
となる。
次に第 2 近似を考える。
(15) で
とすると、
再び部分積分により、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{x^2\left(g_2(x)-\frac{1}{\pi x}\right)
=
-\frac{2}{\...
...1/2}
+\int_0^{1/2}g_4''(t)e^{-xt} dt
=o(1)+\frac{1}{\pi}g_4'(0)\end{eqnarray*}](img143.gif)
となるから、これと (14) より
となることがわかる。よって、
となる。これを繰り返せば、結局
![\begin{displaymath}
g_{-}(x)\sim \frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \frac{g_4^{(n)}(0)}{x^{n+1}}\end{displaymath}](img146.gif) |
(16) |
であることがわかる。
よって後は
を求めればよいが、一般二項定理を用いれば、
となるので、
がわかる。ここで、二項係数は
となるので、
となり、(16) より結局
の漸近展開は、
![\begin{displaymath}
g_{-}(x)\sim \frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{\{(2n-1)!!\}^2}{x^{2n+1}}\end{displaymath}](img152.gif) |
(17) |
であることがわかる。
次に、むしろ
の主要項である
の方を考える。
は、
のときに明らかに無限大に発散するが、
![\begin{displaymath}
e^{-x}g_{+}(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2}e^{-x(1-\cos y)}dy\end{displaymath}](img154.gif) |
(18) |
は、
より 0 に収束する。
よって、
であるから、
まずこの
の 0 への収束オーダーを考えてみる。
今、
とすると、
であるから、
となるが、
なので、
とすれば、
となり、さらに
とすると、
であるから、
となる。
よって、
の極限を考えてみよう。
今、上のように、
とすると、
となるから、(18) は
![\begin{displaymath}
\sqrt{x}e^{-x}g_{+}(x)
= \frac{\sqrt{2}}{\pi}
\int_0^{\sqrt{x}}e^{-u^2}\left(1-\frac{u^2}{2x}\right)^{-1/2}\,du\end{displaymath}](img170.gif) |
(19) |
となる。
のとき
に注意すると、
(19) より
が言えるので、
の第 1 近似は
となる。
第 2 近似は、
の極限を考える。
(19) より、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{x\left(\sqrt{x}e^{-x}g_{+}(x)-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ri...
...ht)^{-1/2}-1\right\}du
-\int_{\sqrt{x}}^\infty e^{-u^2}du\right]\end{eqnarray*}](img176.gif)
と変形すると、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{x\left\{\left(1-\frac{u^2}{2x}\right)^{-1/2}-1\right\}...
...}\left\{1+\sqrt{1-u^2/(2x)}\right\}}
\rightarrow
\frac{u^2}{4}\end{eqnarray*}](img177.gif)
となる。また
の漸近展開式 (5) より、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{\lim_{x\rightarrow\infty} x\int_{\sqrt{x}}^\infty e^{-...
...i}}{2}\lim_{x\rightarrow\infty}x\frac{e^{-x}}{\sqrt{\pi x}}
=
0\end{eqnarray*}](img178.gif)
であるから、
となることがわかる。
これは、より形式的に次のようにしても得られる。
一般二項定理
より、(19) から
であるから、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{x\left(\sqrt{x}e^{-x}g_{+}(x)-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ri...
... &\rightarrow &
\frac{\sqrt{2}}{4\pi}\int_0^\infty u^2e^{-u^2}du\end{eqnarray*}](img184.gif)
となる。
そしてこの計算を繰り返すことにより、
実は (20) の右辺の
を
にしたものが (20) の
左辺の漸近展開であることがわかる。
![\begin{displaymath}
g_{+}(x)
\sim
\frac{\sqrt{2}}{\pi}\,\frac{e^x}{\sqrt{x}}...
...1)!!}{2^m(2m)!!}\,\frac{1}{x^m}
\int_0^\infty u^{2m}e^{-u^2}du\end{displaymath}](img187.gif) |
(21) |
後はこの最後の積分を求めればよい。今、
とすると、部分積分により、
![\begin{eqnarray*}\beta_m
&=&
\int_0^\infty \left(-\frac{u^{2m-1}}{2}\right)(e^...
...(2m-1)u^{2m-2}e^{-u^2}du
%\\ &=&
=
\frac{2m-1}{2}\,\beta_{m-1}\end{eqnarray*}](img189.gif)
となるので、
となり、結局 (21) は
のようになる。
の漸近展開 (17) と
の漸近展開 (22) を比較すると、
明らかに (22) の各項は (17) の
すべての項より大きいので、
結局 (22) が
の漸近展開であることがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2010年4月8日