2 t 分布

自由度 $n$ の $t$ 分布とは、確率変数 $u$, $v$ が独立で、 $u\sim N(0,1)$, $v\sim\chi^2(n)$ であるときに、

  $$t=\frac{u}{\sqrt{v/n}}$$ (2)

が従う確率分布として定義される。

$u$, $v$ が独立なので、2 次元確率分布 $(u,v)$ の密度関数 ([2]) は、 $N(0,1)$ の密度関数 $f_0(u)$, $\chi^2(n)$ の密度関数 $f_\chi(v)$ により、

  $$f_0(u)f_\chi(v) =\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{... ...Gamma}}(n/2)}\,v^{n/2-1}e^{-v/2} & (v>0)\\ [1zh] 0 & (v<0) \end{array}\right.$$ (3)

となる。よって、$t$ の分布関数 $F(t)$ は、

$$\begin{eqnarray*}F(s) &=& \mathrm{Prob}\{t\leq s\} \ =\ \mathrm{Prob}\{u/\s... ...\ \int_0^\infty f_\chi(v)dv\int_{-\infty}^{s\sqrt{v/n}}f_0(u)du\end{eqnarray*}$$

となる。よって、$t$ の密度関数 $f(t)=F'(t)$ は、

  $$f(t) = \int_0^\infty f_\chi(v)f_0\left(t\sqrt{\frac{v}{n}}\right) \sqrt{\frac{v}{n}}\,dv$$ (4)

となる。ここで、この被積分関数は

$${f_\chi(v)f_0\left(t\sqrt{\frac{v}{n}}\right)\sqrt{\frac{v}{n}} \... ...2)}\,v^{n/2-1}e^{-v/2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-t^2v/(2n)}\sqrt{\frac{v}{n}}}$$

$$= \frac{2^{-(n+1)/2}}{\sqrt{n\pi}\,\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)}\,v^{(n-1)/2}e^{-(1+t^2/n)v/2}$$ (5)

となる。よって、 $(1+t^2/n)v/2 = y$ と置換すれば、

$${\int_0^\infty v^{(n-1)/2}e^{-(1+t^2/n)v/2}dv \ =\ \int_0^\infty y^{(n-1)/2}e^{-y}dv \,2^{(n+1)/2}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}}$$

$$= \mathop{\mathit{\Gamma}}\left(\frac{n+1}{2}\right)2^{(n+1)/2} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}$$ (6)

となるので、結局 $f(t)$ は、(4), (5), (6) より、

$$f(t) = \frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi}\,\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}$$

となって、(1) が得られる。