6 不偏分散の分散の極限

次は、(16) の平均の計算である。

$$\begin{eqnarray*}E[SX(4)] &=& \sum_{i=1}^nE[X_i^4] = n\xi_4,\\ E[SX(3,1)] &=... ...,1,1)] &=& \sum'_{i,j,k,l}E[X_iX_jX_kX_l] = \Perm{n}{4}\xi_1^4\end{eqnarray*}$$

となるので、(16) より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{E[\overline{X^2}^2-2\overline{X^2}\,\overline{X}^2+\ov... ... {}+(n^2-2n+3)\xi_2^2-2(n-2)(n-3)\xi_2\xi_1^2+(n-2)(n-3)\xi_1^4\}\end{eqnarray*}$$

となるが、この最後のかっこ内の後半 3 項の和を考えると、 (5) より $\xi_1=\mu$, $\xi_2 = \sigma^2+\mu^2$ なので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(n^2-2n+3)\xi_2^2-2(n-2)(n-3)\xi_2\xi_1^2+(n-2)(n-3)\x... ...4 \\ &=& (n^2-2n+3)(\sigma^2)^2+6(n-1)\sigma^2\mu^2+3(n-1)\mu^4\end{eqnarray*}$$

となることがわかるので、結局

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{E[\overline{X^2}^2-2\overline{X^2}\,\overline{X}^2+\ov... ...+6\sigma^2\mu^2+3\mu^4) +\frac{(n-1)(n^2-2n+3)}{n^3}(\sigma^2)^2\end{eqnarray*}$$

となる。 (9) に戻れば、(10) より

$$\begin{eqnarray*}V[V_1] &=& \left(\frac{n}{n-1}\right)^2 E[\overline{X^2}^2-2... ...xi_3\xi_1+6\sigma^2\mu^2+3\mu^4) -\frac{n-3}{n(n-1)}(\sigma^2)^2\end{eqnarray*}$$

となる。

よって、$\xi_k$ ($1\leq k\leq 4$) が有限という仮定の元では、

$$\lim_{n\rightarrow\infty}V[V_1] = \lim_{n\rightarrow\infty}... ...ma^2\mu^2+3\mu^4) -\frac{n-3}{n(n-1)}(\sigma^2)^2 \right) = 0$$

が言えることになり、 これで $V_1$, $V_2$ がともに $\sigma^2$ の一致推定量であることが 示されたことになる。