4 チェビシェフの不等式の分散への適用

本節では、チェビシェフの不等式を利用して、 不偏分散と標本分散の母分散への一致性を、 不偏分散の極限を考えることに帰着させる。

まず、$V_1$ に対してチェビシェフの不等式を適用すると、 (6) より、

$$P(\vert V_1-\sigma^2\vert>k)\leq\frac{1}{k^2}V[V_1]$$

が言えるので、よって、もし

$$\lim_{n\rightarrow\infty}V[V_1]=0$$ (7)

であれば、$V_1$ の $\sigma^2$ に対する一致性が言えることになる。

また、$V_2$ に対しては、 (6) より、チェビシェフの不等式は

$$P\left(\left\vert V_2-\frac{n-1}{n}\sigma^2\right\vert>k\right) \leq\frac{1}{k^2}V[V_2]$$ (8)

となるが、 $\vert V_2-\sigma^2\vert>\hat{k}$ ($\hat{k}$ は任意の正数) のとき、

$$\left\vert V_2-\frac{n-1}{n}\sigma^2\right\vert \geq \vert V... ...\frac{n-1}{n}\sigma^2\right\vert >\hat{k} - \frac{\sigma^2}{n}$$

であり、また、

$$V[V_2] = V\left[\frac{n-1}{n}V_1\right] = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2V[V_1]$$

なので、(8) より、

$$P(\vert V_2-\sigma^2\vert>\hat{k}) \leq P\left(\left\vert V_... ...frac{\sigma^2}{n}\right)^2} \left(\frac{n-1}{n}\right)^2V[V_1]$$

となることがわかる。 よって、この場合も、(7) が言えれば、

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P(\vert V_2-\sigma^2\vert>\hat{k})=0$$

が言えることになるので、 結局 $V_1$, $V_2$ の $\sigma^2$ に対する一致性は、 (7) を示せばよいことになる。

なお、(7) を示すために、 今後 $E[X_i^k]=\xi_k$ は、$k=1,2,3,4$ に対して「有限である」 と仮定する。