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1 体積の相対誤差

実験レポートの中で、

三辺が , , である立体の体積に対して

$\begin{displaymath} \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta c}{c} \end{displaymath}$

( $\Delta a$ , $\Delta b$ , $\Delta c$ , $\Delta V$ はそれぞれの絶対誤差)

と言う記述があるが、これについて考えてみよう。

今、の観測値をそれぞれ $\bar{a},\bar{b},\bar{c}$ とすると、これらはそれぞれ真の値に対して絶対誤差 $\Delta a$ , $\Delta b$ , $\Delta c$ , を含むので、

$\begin{displaymath} \bar{a}=a+\Delta a,\hspace{0.5zw} \bar{b}=b+\Delta b,\hspace{0.5zw} \bar{c}=c+\Delta c \end{displaymath}$

である。この観測値から計算される、誤差を含む体積を $\bar{V}$ とすると

$\begin{displaymath} V=abc,\hspace{1zw}\bar{V}=\bar{a}\bar{b}\bar{c} \end{displaymath}$

となるので、この体積の絶対誤差 $\Delta V = \bar{V}-V$ は

$\begin{eqnarray*} \Delta V & = & \bar{V}-V = \bar{a}\bar{b}\bar{c} - abc = (a+... ...\Delta a\Delta c+ c\Delta a\Delta b + \Delta a\Delta b\Delta c) \end{eqnarray*}$

となって全ての項に $\Delta a$ 等が含まれた式になる。

ここで、 $\Delta a$ , $\Delta b$ , $\Delta c$ などは誤差であるからに比べてかなり小さいと考えて良いが、この場合 $\Delta b\Delta c$ , $\Delta a\Delta b$ などのようにそれらを 2 つ以上かけた物が含まれる項 (最後の式のカッコ内) は、それらを 1 つしか含まないよりもずっと小さくなるので、それらの項を無視すると

$\begin{displaymath} \Delta V \approx ab\Delta c + ac\Delta b + bc\Delta a \end{displaymath}$

( $\approx$ は近似を表す) のようになる。よって、この式の両辺を

で割ると

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta V}{V} & \approx & \frac{ab\Delta c + ac\Delta ... ...= & \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta a}{a} \end{eqnarray*}$

となり、最初の式が得られる。よって最初の式は正確には等式ではなく近似式であることになる。

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Shigeharu TAKENO
2002年 7月 31日