4 合成関数の偏微分

(6) は $y,z$ の恒等式なので、$y$, $z$ で両辺を 偏微分しても等号のままである (そこが「方程式」とは違う性質)。

よって、(6) の両辺をまず $y$ で偏微分する。 左辺は $(z)_y=0$ より 0 となるが、 右辺の微分に、(3) の合成関数の微分の公式を用いると、

  $$0 = \frac{\partial }{\partial y}f(g(y,z),y) = \frac{\partial f}... ...rtial x}\,\frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y}\times 1$$ (10)

が得られる。ここで (4) より

$$0 = P\,\frac{\partial g}{\partial y} + Q$$

となり、これで (5) の 2 本目の式が得られることになる。

同様に、(6) の両辺を $z$ で偏微分すれば、

  $$1 = \frac{\partial }{\partial z}f(g(y,z),y) = \frac{\partial f}... ...tial y}\times 0 = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial g}{\partial z}$$ (11)

となり、(4) より

$$1 = P\,\frac{\partial g}{\partial z}$$

となるので、これで (5) の 1 本目が得られることになる。