7 最後に

$V_n(r)$, $S_n(r)$ は、通常は、

$$\begin{eqnarray*}V_n(r) &=& \int\!\!\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq r^2... ...1\cdots dx_{n-1}, \\ && (f=\sqrt{r^2-x_1^2-\cdots -x_{n-1}^2})\end{eqnarray*}$$

を計算する、といった多重積分の演習問題として目にすることが多い。 もちろん、厳密にはそのように導入するのが自然であるが、 これらの計算はかなり煩雑であり、かつ大変であるので、 ここでは対称性を利用してだいぶごまかしたような説明を行ってみた。 ここでは部分積分も使用しているし、 断面積の積分による体積の公式も出てくるので、 一変数の積分の応用としても意味があるようにも思う。