2 ラプラス変換の基本公式

最初に、本稿で必要となるラプラス変換の基本公式を上げておく。 まず、本稿では f (t) のラプラス変換を以下のように書くことにする。

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \int_{0}^{\infty}$$ (1)

以下に上げる公式は基本的なものであり、 ラプラス変換に関する教科書 (例えば [1]) であればたいてい載っている。

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L}$$ 線形性 (2)

$$\mathcal {L} \mathcal {L}$$ e^at 倍 (3)

$$\mathcal {L} {\frac{{d}}{{ds}}} \mathcal {L}$$ t 倍 (4)

$$\mathcal {L} \mathcal {L}$$ 微分 (5)

$$\mathcal {L} {\frac{{1}}{{a}}} \mathcal {L} \left(\vphantom{\frac{s}{a}}\right. {\frac{{s}}{{a}}} \left.\vphantom{\frac{s}{a}}\right)$$ スケール変換 (6)

この最後のもの以外は [2] でもおおまかな説明をしているので、 最後のもののみ示しておく。 これは、at = x による置換積分で、

$$\mathcal {L} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} {\frac{{dx}}{{a}}} {\frac{{1}}{{a}}} \int_{0}^{\infty}$$ =

$${\frac{{1}}{{a}}} \mathcal {L} \left(\vphantom{\frac{s}{a}}\right. {\frac{{s}}{{a}}} \left.\vphantom{\frac{s}{a}}\right)$$ =

により得られる。

具体的な関数のラプラス変換については、以下のものを証明なしにあげておく。 詳細は、教科書等 (例えば [1]) を参照のこと。

f	1	tk	sin t	cos t
$\mathcal {L}$[f]	$${\frac{{1}}{{s}}}$$	$${\frac{{k!}}{{s^{k+1}}}}$$	$${\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$	$${\frac{{s}}{{s^2+1}}}$$

ラプラス変換は、次の意味で一対一であることが保証されている。

定理 1

f (t) , g(t) が t > 0 で連続で、 $\mathcal {L}$[f](s) と $\mathcal {L}$[g](s) が同じ関数であれば、 f (t) と g(t) も等しい。

これにより、変換後の関数から変換前の関数への対応も考えることができ、 それがラプラス逆変換である:

$$\mathcal {L}$$^-1[F(s)](t) = f (t)   $$\Longleftrightarrow$$   $$\mathcal {L}$$[f (t)](s) = F(s)

この F(s) のラプラス逆変換を求めるには、 例えば以下のような方法がある。

• ラプラス逆変換を表わす積分 (ブロムウィッチ積分と呼ばれる):

  $$\mathcal {L}$$^-1[F(s)](t) = $${\frac{{1}}{{2\pi i}}}$$$$\int_{{\sigma-i\infty}}^{{\sigma+i\infty}}$$e^stF(s)ds

  を計算する
• F(s) を標準的な形に変形することで、 ラプラス変換がそうなるような f (t) を求める
• 留数計算を利用

最初のものは、逆変換を陽に表わす積分公式なのであるが、 その計算は易しくはないためあまり用いられず、 通常の計算、多くの工学向けの教科書では 2 つ目のものがよく用いられるようである。

その方法とは例えば、

F(s) = $${\frac{{s+2}}{{s^2+2s+2}}}$$

のラプラス逆変換を考えると、(2), (3) より

$${\frac{{s+2}}{{(s+1)^2+1}}} {\frac{{(s+1)}}{{(s+1)^2+1}}} {\frac{{1}}{{(s+1)^2+1}}}$$ F(s) =

$$\left[\vphantom{\frac{S}{S^2+1}+\frac{1}{S^2+1}}\right. {\frac{{S}}{{S^2+1}}} {\frac{{1}}{{S^2+1}}} \left.\vphantom{\frac{S}{S^2+1}+\frac{1}{S^2+1}}\right]_{{S=s+1}}^{} \mathcal {L} \mathcal {L}$$ =

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L}$$ =

と変形できるので、

$$\mathcal {L}$$^-1[F(s)] = e^-tcos t + e^-tsin t

となる、といった具合である。

本稿では、分子の次数が分母の次数よりも小さい有理関数

F(s) = $${\frac{{A(s)}}{{B(s)}}}$$   (deg A(s) < deg B(s))

(A, B は s の多項式、deg A は A の次数) の ラプラス逆変換を求めることを目標とする。 多項式、三角関数 (sin , cos )、指数関数の和や積のラプラス変換は 必ずこの形になり、 また逆にこの形の関数 F(s) のラプラス逆変換は、 多項式、三角関数、指数関数の和と積で表される。 本稿ではその事実、および計算方法について解説していく。