5 微分のラプラス変換を用いる方法

これも常にうまくいくわけではないが、微分のラプラス変換の公式

$$\mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L} \mathcal {L}$$ (9)

を用いる方法もある。この公式も、形式的に部分積分を用いて得られる。

$$\mathcal {L} \int_{0}^{\infty} \left[\vphantom{e^{-st}f(t)}\right. \left.\vphantom{e^{-st}f(t)}\right]_{{t=0}}^{{t=\infty}} \int_{0}^{\infty}$$ =

$$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}$$ =

$$\mathcal {L}$$ =

なお、 $\lim_{{t\rightarrow\infty}}^{}$e^-stf (t) = 0 としたが、 これはラプラス変換が可能な関数、可能な範囲では自然な仮定である。

f'' に対しては、この公式を 2 度用いれば、

$$\mathcal {L}$$[f''] = s$$\mathcal {L}$$[f'] - f'(0) = s$$\left(\vphantom{s\mathcal{L}[f]-f(0)}\right.$$s$$\mathcal {L}$$[f] - f (0)$$\left.\vphantom{s\mathcal{L}[f]-f(0)}\right)$$ - f'(0) = s²$$\mathcal {L}$$[f] - sf (0) - f'(0)

として得られる。

今、 f (t) = t sin t とすると、

f' = (t)'sin t + t(sin t)' = sin t + t cos t

なので、

f'' = (sin t)' + (t)'cos t + t(cos t)' = 2 cos t - t sin t = 2 cos t - f

となる。これをラプラス変換すると、

$$\mathcal {L}$$[f''] = $$\mathcal {L}$$[2 cos t] - $$\mathcal {L}$$[f]

となるが、上の計算より f (0) = f'(0) = 0 であり、よってこの左辺は $\mathcal {L}$[f''] = s²$\mathcal {L}$[f] となるので、

(s² +1)$$\mathcal {L}$$[f] = $$\mathcal {L}$$[2 cos t]

となる。よって、

$$\mathcal {L}$$[f] = $${\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$$$\mathcal {L}$$[2 cos t] = $${\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$ $${\frac{{2s}}{{s^2+1}}}$$ = $${\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$

となる。